【Ctsc2011】幸福路径

题目链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2306

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给定一张有向图，每个点有权值，蚂蚁从某个节点出发，初始体力值为$1$，每走一条边$体力值*=p$，每经过一个点会获得幸福值为$点权*体力值$，求最大幸福值。即求

${sum _{i=0}^{infty }w[i]*p^{i}}$且${U(i-1,i)=1}$其中${U(A,B)}$表示是否存在A到B这样一条路径。

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正解是一个叫做倍增Floyed的东西。

其实就是说考虑到步数是可以走无限步的，我们只需要知道一个近似值，而精度要求也还是比较高的，考虑用倍增的方法快速确定精度。
令${f[i][j][k]}$表示从第$i$个点走到第$j$个点，期间走了${2^{k}}$步。

那么可以利用Floyed进行如下转移：
$${f[i][j][k]=max(forall (f[i][t][k-1]+f[t][j][k-1]*p^{2^{k}}))}$$

注意$k$这一维是可以滚动的。

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#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;
#define maxn 110
#define inf 0x7fffffff
#define llg long long 
#define yyj(a) freopen(a".in","r",stdin),freopen(a".out","w",stdout);
llg n,m,S;
double p,ans,a[maxn],f[maxn][maxn],g[maxn][maxn],tmp;
int main()
{
    yyj("a");
    cin>>n>>m;
    for (llg i=1;i<=n;i++) scanf("%lf",&a[i]);
    cin>>S>>p;
    for (llg i=1;i<=n;i++)
        for (llg j=1;j<=n;j++)
            if (i!=j) f[i][j]=inf*-1;
    for (llg i=1;i<=m;i++)
    {
        llg x,y;
        scanf("%lld%lld",&x,&y);
        f[x][y]=a[y];
    }
    llg T=50;
    double tmp=p;
    while (T--)
    {
        //tmp*=tmp;
        for (llg i=1;i<=n;i++)
            for (llg j=1;j<=n;j++)
                if (i!=j) g[i][j]=inf*-1;
        for (llg k=1;k<=n;k++)
            for (llg i=1;i<=n;i++)
                for (llg j=1;j<=n;j++)
                    g[i][j]=max(g[i][j],f[i][k]+f[k][j]*tmp);
        memcpy(f,g,sizeof f);
        tmp*=tmp;
    }
    for (llg i=1;i<=n;i++) ans=max(ans,f[S][i]);
    printf("%.1lf
",ans*p+a[S]); 
    return 0;
}