全排列算法思想

参考于：【STL】next_permutation的原理和使用

给定一个数列，如何得到它的全排列？

例如1 2 3，它的全排列是123，132，213，231，312，321。

全排列的关键在于，给定某一数列，能从该数列推出“下一个”数列。

那么如何找“下一个”数列呢？

 

找“下一个”数列的算法思路描述如下：

1、从后往前找两个相邻元素，前一个位置记为i，后一个记为j，并且满足s[i] < s[j]

2、从后往前找另一个位置k，若满足s[i] < s[k]，则将s[i]与s[k]交换，并将j之后（包括j）的所有元素颠倒排序，即得“下一个”数列。

 

先试着自己按照这个算法思路去模拟一下算法过程，看能不能悟出这个算法为什么是对的？如果还是不明白这个算法为什么是对的，再继续往下看。

 

举个例子，6 2 5 4 3 1，观察一下，下一个数列是6 3 1 2 4 5，回忆一下观察的过程，你是先从后往前找的对不对？你在找什么？

 

其实你在从后往前找，比较相邻两个数字，如果前一个数字比后一个数字大或相等，就继续往前找，直到找到前一个数字比后一个数字小，我们将前一个数字的位置记为i，后一个数字的位置记为j，此时应该满足s[i]<s[j]。这个例子中i = 1，j = 2。

 

可以看出从j开始的数列都是非升序排列的，因为刚刚在找的过程中，前一个数字都是比下一个数字大或相等。

 

要知道，非升序排列的数列不可能有“下一个”数列，即非升序排列的数列是“最大的”。那么从j开始的数列必定不存在“下一个”数列；另外一点，我们需要考虑i之前（不包括i）的数列吗？比如例子中的6，不需要！因为从i开始的数列必定存在“下一个”数列，因为它不是非升序排列的，非升序排列的数列必定存在“下一个”数列。所以结论是，我们只考虑从从i开始的数列找“下一个”数列。

 

从j开始的数列不可能有“下一个”数列，那么“下一个”数列的i位置放的值不能是原数，而应该从后面的数找，找比原数大的，然后这个数要尽量小。那么如何找到这个最小的数呢？因为从j开始的数列是非升序，所以从后往前找，找到比原数大的就行了。这个位置，我们记为k，例子中这个最小的数是3，即k=4。

 

找到k之后，交换i,k位置的值（一定可以找到这样的k，因为j位置就满足了）。交换之后，从j开始的数列依然是非升序排列。这个很明显，就不多解释了。

 

因为从j开始的数列是非升序排列，逆序一下，得到非降序排列，非降序排列是“最小的”。所以交换之后，从j开始，逆序排序一下，即得到“下一个”排列。

 

下面自己实现的源代码（原理同STL中的next_permutation）

bool nextPermutation(int s[], int first, int last)    //last最后一个元素的下一个位置 
{
    if (last-first <= 1)    //保证至少2个元素
        return false;
    
    int i = last-2, j = last-1;
    
    while (1)
    {
        if (s[i] < s[j])    //只要存在这样的对，下一个排列就必定存在 
        {
            int k = last;
            
            while (s[i] >= s[--k]);    
            
            swap(s[i], s[k]);
            
            reverse(s+j, s+last);
            
            return true;
        }
        if (i == first)        //找到第一个元素都找不到，说明该数组是降序排列的，下一个排列不存在 
        {
            reverse(s+first, s+last);
            return false;
        }
        i--, j--;
    }
}

ps.理解源代码之后就可以知道为什么降序排列的数组，用STL中的next_permutation之后变成升序排列

最后再补充一个不规范的递归版本，所谓不规范，就是排列的顺序与STL中的next_permutation不一样。

void nextPermutationRecursive(int s[], int n, int first, int last)    //last是最后一个元素的下一个位置 
{
    if (last-first == 1)    //只含一个元素
    {
        for (int i = 0; i < n; ++i)
            cout << s[i];
        cout << endl;
    }
    else
    {
        for (int i = first; i < last; ++i)
        {
            swap(s[first], s[i]);
            
            nextPermutationRecursive(s, n, first+1, last);
            
            swap(s[first], s[i]);
        }
    }    
}