2019牛客多校第三场D BigInteger——基础数论

题意：

用  $A(n)$ 表示第 $n$ 个只由1组成分整数，现给定一个素数 $p$，求满足 $1 leq ileq n, 1 leq j leq m, A(i^j) equiv 0(mod p)$ 的 $(i, j)$ 对数。

分析：

$11...11 = frac{10^n-1}{9} equiv 0(mod p)$ 等价于 $10^n equiv 1(mod 9p)$，当 $p eq 2,5$ 时，有 $gcd(10, 9p)=1$，因此 $10^{phi(9p)} equiv 1(mod 9p)$。我们需要找到满足等式最小的数 $d$，也是循环节，显然 $d | phi (9p)$，直接枚举 $phi(9p)$ 的约数验证即可。

找到循环节 $d$ 后，我们需要知道有多少对 $(i, j)$ 满足 $d | i^j$.

对 $d$ 做质因数分解, $d = p_1^{k_1}p_2^{k_2}...p_l^{k_l}$，考虑 $j$ 固定的时候，$i$ 需要满足什么条件？$i$ 必须是 $g = p_1^{left lceil frac{K_1}{j} ight ceil} p_2^{left lceil frac{K_2}{j} ight ceil} ... p_l^{left lceil frac{K_l}{j} ight ceil}$ 的倍数，因此共有 $frac{n}{g}$ 个合法的 $i$。

由于 $k_i leq 30$，所以 $j$ 增加到30以上和 $j=30$ 的结果是一样的，枚举 $j$ 从1到30，分别计算 $g$ 即可。

当 $p=2,5$ 的时候，显然答案为0.

$phi(9p)$ 也不必用欧拉函数计算，当 $p eq 3$ 时，3与p互素，根据欧拉函数的积性，$phi (9p) = phi (9)phi (p) = 6(p-1)$.

由于快速幂会爆long long，需要用__int128（血的教训啊，wa了好多发，枯了）

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;

ll p, m ,n;
map<ll, ll>ma;

__int128  qpow(__int128  a, __int128  b, __int128  p)
{
    __int128  res = 1;
    while(b)
    {
        if(b & 1)  res = res * a % p;
        a = (a * a) % p;  //a*a会爆long long
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

ll  qpow2(ll  a, ll  b)

{
    ll  res = 1;
    while(b)
    {
        if(b & 1)  res = res * a;
        a = a * a;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

//约数枚举O(√n)
ll divisor(ll n, ll p)
{
    vector<ll>res;
    for (ll i = 1; i * i <= n; i++)
    {
        if (n % i == 0)
        {
            //printf("i:%lld
", i);
            if(qpow(10, i, 9*p) % (9*p) == 1)  return i;
            if(i != n / i)  res.push_back(n / i);
        }
    }
    for(ll i = res.size()-1;i >= 0;i--)
    {
        // printf("i:%lld
", res[i]);
         if(qpow(10, res[i], 9*p) % (9*p) == 1)  return res[i];
    }
    return 0;
}

//整数分解O(√n)
void prime_factor(ll n)
{
    for (int i = 2; i * i<= n; i++)
    {
        while (n % i == 0)
        {
            ++ma[i];
            n /= i;
        }
    }
    if (n != 1)  ma[n] = 1;        //最多只有一个素因数大于√n
}


//j固定的情况下的对数
ll  OneJ(int j)
{
    ll res = 1;
    for(auto it = ma.begin();it != ma.end();it++)
    {
        res *= qpow2((*it).first, (ll)ceil((*it).second * 1.0 / j));
    }
    return n / res;
}


int  main()
{
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while(T--)
    {
        scanf("%lld%lld%lld", &p, &n, &m);
        //int fai = euler_phi(9*p);
        ll k;
        if(p == 2 || p == 5)
        {
            printf("0
");
            continue;
        }

        if(p == 3)
        {
            k =  divisor(18, p);
        }
        else  k = divisor(6*(p-1), p);  //printf("k:%lld
", k);

        if(k == 0)  printf("0
");
        else
        {   ma.clear();
            ll res = 0;
            prime_factor(k);  //printf("k:%lld
", k);

            if(m < 30)
            {
                 for(int i = 1;i <= m;i++)  res += OneJ(i);
            }
            else
            {
                for(int i = 1;i <= 29;i++)  res += OneJ(i);
                int tmp = OneJ(30);
                res += tmp * (m - 29);
            }
            printf("%lld
", res);
        }
    }
    return 0;
}