算法与数据结构——树

树

树的定义

注意

• 子树是不相交的

• 除了根节点外，每个节点有且仅有一个父节点

• 一棵N个结点的树有N-1条边

树的基本术语

树的实现

1. 儿子兄弟表示法
   

typedef struct TreeNode* PtrToNode;
//也可以理解为左儿子右兄弟表示法
struct TreeNode
{
	ElementType Element;
	PtrToNode FirstChild; //左儿子
	PtrToNode NextSibling;//右兄弟
};

二叉树

1. 二叉树的定义
   

2. 特殊二叉树
   

3.二叉树的几个性质

• 高度h≥0的二叉树至少有h+1个结点
• 含有n≥1个结点的二叉树的高度至多为n-1

4. 二叉树的遍历
   *先序遍历
   

*中序遍历

*后序遍历

• 先序、中序和后序遍历过程：遍历过程中经过结点的路线一
  样，只是访问各结点的时机不同。

二叉树分类

完全二叉树，满二叉树，平衡二叉树，扩充二叉树等等

二叉树的应用

• 普通的二叉树，很难构成现实的应用场景，但因其简单，常用于学习研究，平衡二叉树则是实际应用比较多的。常见于快速匹配、搜索等方面。
• 常用的树有：AVL树、红黑树、B+树、Trie（字典）树。
  1、AVL树: 最早的平衡二叉树之一。应用相对其他数据结构比较少。windows对进程地址空间的管理用到了AVL树。
  2、红黑树: 平衡二叉树，广泛用在C++的STL中。如map和set都是用红黑树实现的。还有Linux文件管理。
  3、B/B+树: 用在磁盘文件组织 数据索引和数据库索引。
  4、Trie树(字典树): 用在统计和排序大量字符串，如自动机、M数据库索引。

二叉树实现

1.二叉搜索树

struct TreeNode
{
	ElementType Element;
	SearchTree left;
	SearchTree right;
};
//建立一颗空树
SearchTree MakeEmpty(SearchTree T)
{
	if (T != NULL)
	{
		MakeEmpty(T->left);
		MakeEmpty(T->right);
		free(T);
	}
	return NULL;
}
//查找操作
Position Find(ElementType X, SearchTree T)
{
	if (T == NULL)
		return NULL;
	if (X < T->Element)
	{
		return Find(X, T->left);
	}
	else if (X > T->Element)
	{
		return Find(X, T->right);
	}
	else
	{
		return T;
	}
}
//递归实现查找最小元素
Position FindMin(SearchTree T)
{
	if (T == NULL)
	{
		return NULL;
	}
	else if (T->left == NULL)
	{
		return T;
	}
	else
	{
		return FindMin(T->left);
	}
}
//非递归查找最大元素
Position FindMax(SearchTree T)
{
	if (T != NULL)
	{
		while (T->right != NULL)
		{
			T = T->right;
		}
	}
	return T;
}
//插入元素到二叉搜索树中
SearchTree Insert(ElementType X, SearchTree T)
{
	if (T == NULL)
	{
		T = new TreeNode;
		if (T == NULL)
		{
			cout << "out of space";
		}
		else
		{
			T->Element = X;
			T->left = T->right = NULL;
		}
	}
	else
	{
		if (X < T->Element)
		{
			T->left = Insert(X, T->left);
		}
		else if (X > T->Element)
		{
			T->right = Insert(X, T->right);
		}
		//Else X is in the tree already;we will do nothintg
		return T;
	}
}
//删除
SearchTree Delete(ElementType X, SearchTree T)
{
	Position TmpCell;
	if (T == NULL)
	{
		cout << "Element not found";
		return;
	}
	else if (X < T->Element)
	{
		T->left = Delete(X, T->left);
	}
	else if (X > T->Element)
	{
		T->right = Delete(X, T->right);
	}
	//Find the element to delete
	else if (T->left && T->right)
	{
		TmpCell = FindMin(T->right);
		T->Element = TmpCell->Element;
		T->right = Delete(T->Element, T->right);
	}
	else//handle Zero or One children
	{
		TmpCell = T;
		if (T->left == NULL)
		{
			T = T->right;
		}
		else if (T->right == NULL)
		{
			T = T->left;
		}
		free(TmpCell);
	}
	

}

AVL树

地址