剑指offer之整数中1出现的次数（从1到n整数中1出现的次数）

问题：

     求出1~13的整数中1出现的次数,并算出100~1300的整数中1出现的次数？为此他特别数了一下1~13中包含1的数字有1、10、11、12、13因此共出现6次,但是对于后面问题他就没辙了。ACMer希望你们帮帮他,并把问题更加普遍化,可以很快的求出任意非负整数区间中1出现的次数（从1 到 n 中1出现的次数）。

思路：

思路1.     从1遍历到n,计算每个数中1的个数并累加，返回；

           或 

　　　　将1到n的int型数组转化成字符串，在遍历这个char数组，记录字符1出现的次数；

public class Solution {
    public int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n) {
        int count=0;
        StringBuffer s=new StringBuffer();
        for(int i=1;i<n+1;i++){
             s.append(i);
        }
        String str=s.toString();
        for(int i=0;i<str.length();i++){
            if(str.charAt(i)=='1')
                count++;
        }
        return count;
    }
}

分析：以上两种算法的时间复杂度为n log n ，效率太低，显然不是面试官想要的答案； 

　　

思路2：  首先要明白一点：

1 ~ 10: 在它们的个位中，x出现1次(x可取1~9)；

1 ~ 100: 在它们的十位中，x出现10次；

1 ~ 1000: 在它们的百位中，x出现100次；

依此类推：1~10^i: 在它们的左数第二位（右数第i位），x出现了10^(i-1)次。
得到规律如下：
1.如果第i位（个位开始）为0，则第i位可能出现1的次数由更高位决定，等于高位数字x当前位数的权重10^i-1；
2.如果第i位等于1，则第i位可能出现1的次数不仅受更高位影响，还受到低位影响，等于高位数字x当前位数的权重10^i-1 + 低位数字x+1；
3.如果第i位大于1，则第i位可能出现1的次数仅由更高位决定，等于高位数字x+1当前位数的权重10^i-1。

总结一下以上的算法，可以看到，当计算右数第 i 位包含的 X 的个数时：

1. 取第 i 位左边（高位）的数字，乘以 10ⁱ⁻¹，得到基础值 a。
2. 取第 i 位数字，计算修正值：
   1. 如果大于 X，则结果为 a+10ⁱ⁻¹。
   2. 如果小于 X，则结果为 a。
   3. 如果等 X，则取第 i 位右边（低位）数字，设为 b，最后结果为 a+b+1。

相应的代码非常简单，效率也非常高，时间复杂度只有 O(log₁₀n)。

/**
     * @param n
     * @param x [1,9]
     * @return
     */
    public int NumberOfXBetween1AndN_Solution(int n,int x) {
        if(n<0||x<1||x>9)
            return 0;
        int high,low,curr,tmp,i = 1;
        high = n;
        int total = 0;
        while(high!=0){
            high = n/(int)Math.pow(10, i);// 获取第i位的高位
            tmp = n%(int)Math.pow(10, i);
            curr = tmp/(int)Math.pow(10, i-1);// 获取第i位
            low = tmp%(int)Math.pow(10, i-1);// 获取第i位的低位
            if(curr==x){
                total+= high*(int)Math.pow(10, i-1)+low+1;
            }else if(curr<x){
                total+=high*(int)Math.pow(10, i-1);
            }else{
                total+=(high+1)*(int)Math.pow(10, i-1);
            }
            i++;
        }
        return total;        
    }