求证：$1+dfrac{1}{4}+dfrac{1}{9}+cdots +dfrac{1}{n^2}+cdots = dfrac{pi^2}6$．
解答:考虑$$dfrac{sin x}x=1-dfrac{x^2}{3!}+dfrac{x^4}{5!}-dfrac{x^6}{7!}+cdots +(-1)^ndfrac{x^{2n}}{(2n+1)!}+cdots ,$$ 由于$y=dfrac{sin x}x$的零点为$x=pm pi,pm 2pi,cdots ,pm npi,cdots ,$
因此$1-dfrac{x^2}{3!}+dfrac{x^4}{5!}-dfrac{x^6}{7!}+cdots +(-1)^ndfrac{x^{2n}}{(2n+1)!}+cdots =left(1-dfrac{x^2}{pi^2} ight)left(1-dfrac{x^2}{4pi^2} ight)cdots left(1-dfrac{x^2}{n^2pi^2} ight)cdots,$ 对比上式中$x^2$项的系数可得$$1+dfrac{1}{4}+dfrac{1}{9}+cdots +dfrac{1}{n^2}+cdots = dfrac{pi^2}6.$$
评:此方法是欧拉最早使用的，欧拉以它卓越的分析能力，给出了这个级数和的最早的正确答案，当然站着大学数学分析的角度，这个方法还是显得有些粗糙和冒险。