LeetCode 279. 完全平方数 (C#实现)——动态规划,四平方和定理

问题：https://leetcode-cn.com/problems/perfect-squares/

给定正整数 n，找到若干个完全平方数（比如 1, 4, 9, 16, ...）使得它们的和等于 n。你需要让组成和的完全平方数的个数最少。

示例 1:

输入: n = 12
输出: 3 
解释: 12 = 4 + 4 + 4.

示例 2:

输入: n = 13
输出: 2
解释: 13 = 4 + 9.

GitHub实现：https://github.com/JonathanZxxxx/LeetCode/blob/master/NumSquares.cs

Blog：https://www.cnblogs.com/zxxxx/

一、动态规划实现

1、思路：对一个数字n而言，组成的它的完全平方数的最少个数可以根据它减去i*i（这里i*i<n）后对应的那个数的最少完全平方数加一，通过改变i的值最终取得最小值

从简单情况开始
1   1>=1*1 所以1对应等于0对应的最小个数加1,这里0对应的个数为0
2   2>=1*1 所以2对应等于1对应的最小个个数加1，因为之前已经记录了1对应的最小值为1，所以这里最小为2
3   3>=1*1 所以3对应等于2对应的最小个个数加1，因为之前已经记录了2对应的最小值为1，所以这里最小为3
4   4>=1*1和4>=4 所以4对应等于3或者0对应的最小个个数加1，因为之前已经记录了3对应的最小值为3，0对应的最小值为0，所以最终的最小值为1。
往后的情况依次类推

参考：LeetCode-【动态规划】-完全平方数

        public int NumSquares(int n)
        {
            int[] dp = new int[n + 1];
            for (int i = 1; i <= n; i++)
            {
                dp[i] = n;
            }
            for (int i = 1; i <= n; i++)
            {
                int j = 1;
                while (i - j * j >= 0)
                {
                    dp[i] = Math.Min(dp[i], dp[i - j * j] + 1);
                    j++;
                }
            }
            return dp[n];
        }

二、四平方和定理实现

1、思路：任何一个正整数都可以表示成不超过四个整数的平方之和；推论：满足四数平方和定理的数n（四个整数的情况），必定满足 n=4^a(8b+7)

参考：C#版[击败100%的提交] - Leetcode 279. 完全平方数 - 题解

        public int NumSquares2(int n)
        {
            while (n % 4 == 0)
            {
                n /= 4;
            }
            if (n % 8 == 7)
            {
                return 4;
            }
            for (int i = 0; i * i <= n; i++)
            {
                int r = (int)Math.Sqrt(n - i * i);
                if (i * i + r * r == n)
                {
                    if (i == 0 || r == 0) return 1;
                    return 2;
                }
            }
            return 3;
        }