• [SDOI2015] 序列统计


    3992: [SDOI2015]序列统计

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    Description

    小C有一个集合S,里面的元素都是小于M的非负整数。他用程序编写了一个数列生成器,可以生成一个长度为N的数列,数列中的每个数都属于集合S。
    小C用这个生成器生成了许多这样的数列。但是小C有一个问题需要你的帮助:给定整数x,求所有可以生成出的,且满足数列中所有数的乘积mod M的值等于x的不同的数列的有多少个。小C认为,两个数列{Ai}和{Bi}不同,当且仅当至少存在一个整数i,满足Ai≠Bi。另外,小C认为这个问题的答案可能很大,因此他只需要你帮助他求出答案mod 1004535809的值就可以了。

    Input

    一行,四个整数,N、M、x、|S|,其中|S|为集合S中元素个数。第二行,|S|个整数,表示集合S中的所有元素。

    Output

    一行,一个整数,表示你求出的种类数mod 1004535809的值。

    Sample Input

    4 3 1 2
    1 2

    Sample Output

    8

    HINT

    【样例说明】

    可以生成的满足要求的不同的数列有(1,1,1,1)、(1,1,2,2)、(1,2,1,2)、(1,2,2,1)、(2,1,1,2)、(2,1,2,1)、(2,2,1,1)、(2,2,2,2)。

    【数据规模和约定】

    对于10%的数据,1<=N<=1000;

    对于30%的数据,3<=M<=100;

    对于60%的数据,3<=M<=800;

    对于全部的数据,1<=N<=109,3<=M<=8000,M为质数,1<=x<=M-1,输入数据保证集合S中元素不重复

     

    Source

    Round 1 感谢yts1999上传

    先随便找出M的一个原根 (原根很多,对于一个模数M原根大致有phi(phi(M))个),然后把S集合中的数都转化成指标。

    (顺便科普一下如何判断一个数是不是原根,因为原根要遍历1-M-1的同余系下的所有元素,所以原根在M-1次方之前

    是不能等于1的。然而不用一个次方一个判断,直接判断在M-1的约数除是否有1就行了(其实还可以更优化,即只判断/某个质因子之后的约数

    就行了,但是这个方法本题已经够用了))

    这样之后mod M同余系下两个数相乘就相当于它们的指标相加。

    你问我这个有什么用??

    转化成加法之后就可以卷积了啊,不转化的话只能O(N^2)算。

    然后这里有一个超级超级超级超级超级超级大的大坑是集合S中的元素是非负整数!!!

    不是正整数是非负整数!!!

    如果有一个元素是0的话那它是没有意义的(0没有指标啊,然而一开始没有特判让idx==0的强行加了1hhhh)

    转化之后构造一个关于指标的元多项式,它的N次方的idx[x]次项的系数就是答案。

    可以用求快速幂类似的方法倍增求解,不过每一次乘完了之后要维护一下次数>=M-1的(因为指标的值都是<=M-2的),

    把它们的值加到 mod(M-1)同余系下的<M-1的次数项上 (如果你问为什么不是 mod M同余系下那么我建议你去学一下欧拉定理)

    然后几乎就是个NTT的板了。

    /**************************************************************
        Problem: 3992
        User: JYYHH
        Language: C++
        Result: Accepted
        Time:4656 ms
        Memory:2116 kb
    ****************************************************************/
     
    #include<bits/stdc++.h>
    #define ll long long
    #define mod 1004535809
    #define maxn 30005
    using namespace std;
    const int pi=3,ni=mod/pi+1;
    int di[maxn],tot,N,M,X,num,inv;
    int a[maxn],p,b[maxn],ind[maxn];
    int r[maxn],e[maxn],l,n,ans[maxn];
    inline int add(int x,int y,const int ha){
        x+=y;
        if(x>=ha) x-=ha;
        return x;
    }
     
    inline int dec(int x,int y,const int ha){
        x-=y;
        if(x<0) x+=ha;
        return x;
    }
     
    inline int mul(int x,int y,const int ha){
        return (ll)x*y%ha;
    }
     
    inline int ksm(int x,int y,int ha){
        int an=1;
        for(;y;y>>=1,x=(ll)x*x%ha) if(y&1) an=(ll)an*x%ha;
        return an;
    }
     
    inline bool can(int x){
        for(int i=1;i<=tot;i++) if(ksm(x,di[i],M)==1) return 0;
        return 1;
    }
     
    inline void get(){
        for(int i=2;i<M;i++) if(can(i)){
            p=i;
            break;
        }
    }
     
    inline void prework(){
        ind[1]=0;
        for(int i=1,j=p;j!=1;i++,j=(ll)j*p%M){
            ind[j]=i;
        }
    }
     
    inline void NTT(int *c,int f){
        for(int i=0;i<n;i++) if(i<r[i]) swap(c[i],c[r[i]]);
        for(int i=1;i<n;i<<=1){
            int omega=(f==1?ksm(pi,(mod-1)/(i<<1),mod):ksm(ni,(mod-1)/(i<<1),mod));
            for(int j=0,q=i<<1;j<n;j+=q){
                int now=1;
                for(int k=0;k<i;k++,now=mul(now,omega,mod)){
                    int x=c[k+j],y=mul(now,c[k+j+i],mod);
                    c[k+j]=add(x,y,mod);
                    c[k+j+i]=dec(x,y,mod);
                }
            }
        }
         
        if(f!=1) for(int i=0;i<n;i++) c[i]=mul(c[i],inv,mod);
    }
     
    inline void calc(int *x,int *y){
        NTT(x,1),NTT(y,1);
        for(int i=0;i<n;i++) x[i]=mul(x[i],y[i],mod);
        NTT(x,-1);
         
        int D=M-1,to;
        for(int i=0;i<D;i++){
            to=i+D;
            x[i]=add(x[i],x[to],mod);
        }
        for(int i=D;i<n;i++) x[i]=0;
    }
     
    inline void solve(){
        for(n=1,l=0;n<=((M-2)<<1);n<<=1) l++;
        for(int i=0;i<n;i++) r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
        inv=ksm(n,mod-2,mod);
        ans[0]=1;
         
        while(N){
            if(N&1){
                for(int i=0;i<n;i++) e[i]=b[i];
                calc(ans,e);
            }
            for(int i=0;i<n;i++) e[i]=b[i];
            calc(b,e);
            N>>=1;
        }
    }
     
    int main(){
        scanf("%d%d%d%d",&N,&M,&X,&num);
        M--;
        for(int i=2;i*i<=M;i++) if(!(M%i)){
            di[++tot]=i;
            if(i*i!=M) di[++tot]=M/i;
        }
        M++;
        for(int i=1;i<=num;i++) scanf("%d",a+i);
         
        get();
        prework();
        for(int i=1;i<=num;i++) if(a[i]) b[ind[a[i]]]=1;
         
        solve();
        printf("%d
    ",ans[ind[X]]);
        return 0;
    }
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/JYYHH/p/8343267.html
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