GMOJ 2020.11.03【NOIP提高A组】模拟
T1.6847通往强者之路
设 (f_i) 表示走到第 (i) 块格时 (i) 上有多少砖，当 (i geq n) 时，(f_i = sum[j < i, j + f_j geq i])。
可以通过归纳证明得出：由(f_i = sum[j < i, j + f_j geq i]) 且 (f_j in ext{{n - 1, n, n + 1}}) 得 (f_i = n - 1 + [f_{i - n} geq n] + [f_{i - n - 1} geq n + 1])，所以 (f_i in ext{{n - 1, n, n + 1}})。
所以将 ( ext{{n - 1, n, n + 1}}) 表示为 ( ext{{0, 1, 2}})，则 (f_i = [f_{i - n} geq 1] + [f_{i - n - 1} = 2])。
从 (f_0) 开始以 (n) 个为一行将 (f) 排成一个方阵，设为 (g_{i, j}, j in [0, n - 1])，同上可得 (g_{i, j} = [g_{i - 1, j} geq 1] + [g_{i - 1, j - 1} = 2])，注意若 (j = 0) 时，(+) 后应为 ([g_{i - 2, n - 1} = 2])。
将其视作一种传递关系，则 (1) 的传递为 ((i, j) ightarrow (i + 1, j))，对于 (f) 来说，其实就是 (f_i ightarrow f_{i + n})。
(2) 的传递为 ((i, j) ightarrow (i + 1, j + 1))，注意当遇到 (0) 时，(2) 会将改为变为 (1) 并且消失，
但是特殊的，((i, n - 1) ightarrow (i + 2, 0))，所以为了方便处理 (2)，假想在方阵后加一列虚拟的 (j = n) （(f) 也要相应的填入这一列）,这样 (2) 的转移就是 ((i, j) ightarrow (i + 1, ext{(j + 1) % (n + 1)}))。对于 (f) 来说，也就是 (f_i ightarrow f_{i + n + 1})。
那么便很好做了，首先可以预处理出每个 (0) 变为 (1) 的行数（可能永远为 (0)），以及每个 (2) 消失的行数（也可能永远为 (2)），两者是一一对应的，用栈来模拟即可，时间复杂度 (O(n))，需注意 (2) 的转移可能一次跳跃两行。
对于每个询问 (x)，首先逆推回其在方阵起始行对应的位置 ((0, ext{x % n}))（也就是对应的 (f_{0..n - 1})），如果为 (0) 且该位变为 (1) 的行数大于 (x) 所在行数，那么 (f_x = 0)，否则我们还需要判断是否有 (2) 刚好走到 (x) 所在方阵位置，同样逆推回起始行 ((0, ext{x % (n + 1)}))，如若 (f_{ ext{x % (n + 1)}} = 2) 且消失的行数大于 (x) 所在行，那么 (f_x = 2)。
PS：包含大量 (f) 和 (g) 之间的交互，慎读！写了 (1h) 多还是只能写成这鬼东西，必须差评！
T2.6848融入社会的计划
相比 (T1)，(T2) 就清真多了，但考场还是没做出来.....（可是 (T2) 数据被贪心碾过去了？！）
考虑 (dp)，设 (f_{i, j}) 表示将 (a_i) 变为 (j)，( ext{1 ~ i}) 满足条件的最小花费，转移很简单 (f_{i, j} = sum{f_{i - 1, k} + (j - a_i) ext{ , } [L leq j + k leq R]})。
显然，对于 (f_i) 而言，合法的 (j) 是一段连续的区间。
并且可以得出，(f_{i, j}) 在合法区间内单调不减，并且(0 leq f_{i, j + 1} - f_{i, j} leq 1)，可以归纳证明：
首先将转移分为两部分：(f_{i, j} ightarrow f_{i + 1, k} ext{ , } ext{ } f_{i + 1,k} + (k - a_{i + 1}) ightarrow f_{i + 1, j})。
对于第一部分 (f_{i, j}) 会转移到 (f_{i + 1, k} ext{, } k in ext{[L - j, R - j]})，(j) 增大的同时区间会相应地向左移，并且 (f_{i, j}) 不减，所以 (f_{i + 1}) 单调不升，并且 (0 leq f_{i + 1, j} - f_{i + 1, j + 1} leq 1)。
移项得 (f_{i + 1, j + 1} leq f_{i + 1, j} leq f_{i + 1, j + 1} + 1)，再加 (j - a_{i + 1}) 得 ((f_{i + 1, j + 1} + j + 1 - a_{i + 1}) - 1 leq f_{i + 1, j} + j - a_{i + 1} leq f_{i + 1, j + 1} + j + 1 - a_{i + 1})。
也就是 (0 leq f_{i + 1, j + 1} - f_{i + 1, j} leq 1)，得证。
设 (l_i, r_i) 表示 (f_i) 的合法区间，那么最后答案就是 (f_{n, l_n})。
然后就可以从 (n) 逆推答案了，首先求出 (l_i, r_i) 后，(a'_{i} = max(L - a'_{i + 1}, l_{i}))，时间复杂度 (O(n))。