hdu 1395 2^x mod n = 1

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显然没有解的时候是n==1||n%2==0

做法要利用这样几个定理：

第一个是a^phi(m)%m=1

这个等式在m和a互质的时候一定成立

在这个题目中，因为a=2

所以m与a不互质，除非m为偶数

当然m=1的时候需要特殊处理下，这些都是小问题。

 

现在这个问题明了了，即在m为奇数(大于1)的时候一定有解。

那么就有人萌生了直接暴力的方法。当然对于这个题，直接暴力是可以的，我最先开始也是这样过的

但是今天重新做了一下这个题我仔细的思考了一下，发现果然有更加巧妙的方法来解决该类问题。

首先说暴力的缺点吧，大多数情况暴力其实还是非常快的，但是如果当m为一个非常大的质数，那么问题就严重了。因为质数的欧拉函数就是质数-1

那么也就是说，最坏情况下，我们可能要枚举很多次才能找到一个解

 

那么更为高效的方法是：把m的欧拉函数值，假设值为phi进行质因数分解

然后依次枚举phi的每一个因子，同时判断这个因子x是否满足2^x%m==1，不断更新一个最小值，最后得到答案。

那么为什么这样做就是对的呢？

首先需要知道：

a^x%m==1满足这个方程的最小x称为a对模m的指数。我们记做ordm(a)，如果ordm(a)==phi(m)则我们称a为模m的原根

有：a^X%m==1    <-===->    ordm(a)整除X

根据以上所说：a^phi(m)=1成立，那么phi(m)%ordm(a)==0也是成立的

所以ordm(a)就是phi的一个因子

所以分解phi然后枚举phi的因子的做法是正确的

#include"stdio.h"
int main()
{
	int s,n,i,cnt;
	while(scanf("%d",&n)!=EOF)
	{
		cnt=0;
		if(n%2==0||n==1)
			printf("2^? mod %d = 1\n",n);
		else
		{
			cnt=1;s=2;
			while(s!=1)
			{
				cnt++; 
				s=((s*2)%n);
			}
			printf("2^%d mod %d = 1\n",cnt,n);
		}
	}
	return 0;
}