LuoguP5464 缩小社交圈

[LuoguP5464 缩小社交圈](P5464 缩小社交圈)

背景:洛谷七月月赛T4

题目大意给定(n)个点,每个点的权值对应着一个区间([l_i,r_i]),两个点(i,j)有边当且仅当他们权值的并集不为空集,问有多少个点集(S)满足其连边后是一棵树

(n <= 2*10^3,l_i<=r_i<=2*10^3)

首先,这道题不能转换成一道图论问题去考虑,为什么?

因为这道题区间的性质非常特殊,是解题关键,如果转化成图,就没有了这个性质.

首先,如果不能转化成图论,此类区间的问题还是应该先进行排序.

我们按照(r_i)进行排序之后考虑(DP)

我们发现如果(i)与(j)的并集是空集,肯定(i)是无法接到(j)后面的

加入不为空集,就可能出现这种情况

这说明只记(f_i)表示前(i)个区间的合法数量是不对的

所以我们设(f_{i,j})表示(j)接在(i)后面的方案数.

第一种情况:(jcap i!=j),即(x_i>x_j)

此时,很明显有

(f_{i,j} = sum_{k = 0,y_k<x_i}^{j - 1}f_{j,k})

第二种情况:(jcap i==j),即(x_i<=x_j)

很明显,此时我们在用上面的方程转移是不j合法的了

我们还应当保证,(j,k)无交

但是(j,k)无交就意味着(f_{j,k}=0)

之后我们发现,这种情况,(f_{i,j})其实是可以从(f_{i,k})转移过来的

即:

(f_{i,j} = sum_{k = 0,y_k<x_j}^{j - 1}f_{i,k})

发现上面两个方程都可以用前缀和或者树状数组优化

因为每次查询的符合答案的(y_k)是一个前缀

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cctype>
#define LL long long
#define pii pair<int,int>
#define mk make_pair
using namespace std;
const int N = 4e3 + 3;
const int mod = 1e9 + 7; 
struct node{
	int li,ri;	
}a[N];
int f[N][N];
int n;
inline bool cmp(node x,node y){
	if(x.ri == y.ri)
	return x.li < y.li;
	return x.ri < y.ri;
}
inline void up(int &x,int y){
	x += y;
	if(x >= mod) x -= mod;	
}
struct BIT{
	int c[N];
	inline void add(int x,int v){
		for(;x <= 4000;x += x & -x) up(c[x],v);
	}
	inline int query(int x){
		int res = 0;
		for(;x;x -= x & -x) up(res,c[x]);
		return res;	
	}
}T[N];
//f[i][j]表示当前选了第i个,上一个选了第j个的方案总数 
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i = 1;i <= n;++i) scanf("%d%d",&a[i].li,&a[i].ri);
	sort(a + 1,a + n + 1,cmp);
	for(int i = 1;i <= n;++i) f[i][0] = 1,T[i].add(1,1);
	for(int i = 1;i <= n;++i){
		for(int j = 0;j < i;++j){
			if(a[i].li > a[j].ri) continue;
			if(a[i].li <= a[j].li)
				up(f[i][j],T[i].query(a[j].li));	
			if(a[i].li > a[j].li)
				up(f[i][j],T[j].query(a[i].li));
			T[i].add(a[j].ri + 1,f[i][j]);
		}
	}
	int ans = 0;
	for(int i = 1;i <= n;++i){
		for(int j = 0;j < i;++j) up(ans,f[i][j]);	
	}
	printf("%d
",ans);
	return 0;	
}