本学期的高等代数每周一题活动计划从第1教学周开始，到第16教学周结束，每周的周末公布1-2道思考题（共18道，思考题一般与下周授课内容密切相关），供大家思考和解答。每周一题将通过“高等代数官方博客”（以博文的形式）和“高等代数在线课程20级课群”（以课群话题的形式）这两个渠道同时发布。有兴趣的同学可以将每周一题的解答写在纸上，用手机APP扫描或用手机拍照（注意清晰度，且图片像素不宜过高），并将解答图片上传到每周一题对应的课群话题中。本人会定期对每周一题的解答进行批改和评价，并将优秀解答标记出来推荐给全班同学。
[问题2021S01] 请用多元多项式的整性证明: 数域 $mathbb{K}$ 上的 $n$ 阶方阵全体构成的线性空间 $M_n(mathbb{K})$ 有一组 (无穷组) 由非异矩阵构成的基.
[问题2021S02] (1) 请将下列对称有理函数表示为初等对称多项式的有理函数, 并求 $sigma_1=0$ 时的函数值:
$$Q(x_1,x_2,x_3)=frac{x_1^2}{2x_1^2+x_2x_3}+frac{x_2^2}{2x_2^2+x_3x_1}+frac{x_3^2}{2x_3^2+x_1x_2};$$
(2) 请将下列对称有理函数表示为初等对称多项式的有理函数, 并求 $sigma_1=2$, $sigma_2=-6$, $sigma_3=1$ 时的函数值:
$$Q(x_1,x_2,x_3)=frac{1}{x_1x_2+2x_3}+frac{1}{x_2x_3+2x_1}+frac{1}{x_3x_1+2x_2}.$$
[问题2021S03] 设 $V=M_n(mathbb{C})$ 是 $n$ 阶复方阵全体构成的集合.
(1) 将 $V$ 看成是复线性空间, $V$ 上的线性变换 $varphi$ 定义为 $varphi(X)=JX$, 其中 $J$ 是基础循环矩阵 (定义见高代白皮书的例 2.1), 试求 $varphi$ 的全体特征值和对应的特征向量;
(2) 将 $V$ 看成是实线性空间, $V$ 上的线性变换 $varphi$ 定义为 $varphi(X)=overline{X}$, 其中 $overline{X}$ 是 $X$ 的共轭矩阵, 试求 $varphi$ 的全体特征值和对应的特征向量.
[问题2021S04] (1) 设 $2$ 阶复方阵 $A$ 满足 $|A^k+I_2|=1$, 其中 $k=1,2,3$, 证明: $A$ 是幂零阵;
(2) 设 $3$ 阶复方阵 $A$ 满足 $|A^k+I_3|=1$, 其中 $k=1,2,3,7$, 证明: $A$ 是幂零阵.
注 可利用以下表示进行计算 (不需要证明), 其中 $sigma_1,sigma_2,sigma_3$ 分别是未定元 $x_1,x_2,x_3$ 的初等对称多项式: $$(x_1^7+1)(x_2^7+1)(x_3^7+1)=sigma_3^7+7sigma_3^4sigma_1^2+7sigma_3^4sigma_2-21sigma_3^3sigma_1sigma_2^2-7sigma_3^3sigma_1^3sigma_2+7sigma_3^2sigma_2^4+14sigma_3^2sigma_1^2sigma_2^3+7sigma_3^2sigma_1-7sigma_3sigma_1sigma_2^5+7sigma_3sigma_1^4+7sigma_3sigma_2^2-21sigma_3sigma_1^2sigma_2+sigma_1^7+sigma_2^7-7sigma_1sigma_2^3+14sigma_1^3sigma_2^2-7sigma_1^5sigma_2+1.$$
[问题2021S05] 设 $V=M_n(mathbb{C})$ 是 $n$ 阶复方阵全体构成的复线性空间, $V$ 上的线性变换 $varphi$ 定义为 $varphi(X)=JX'J'$, 其中 $J$ 是基础循环矩阵 (定义见高代白皮书的例 2.1), 证明: $varphi$ 可对角化.
[问题2021S06] 设 $n$ 阶复方阵 $M$ 的秩等于 2, 请用 $M$ 的特征值的相关条件给出 $M$ 可对角化的充要条件.
[问题2021S07] 设 $a_0,a_1,a_2$ 为有理数, 使得 $$A=egin{pmatrix} a_0 & a_2 & a_1 \ a_1 & a_0+a_2 & a_1+a_2 \ a_2 & a_1 & a_0+a_2 \ end{pmatrix}$$ 为奇异阵. 证明: $a_0=a_1=a_2=0$.
[问题2021S08] 设 $V$ 是数域 $mathbb{K}$ 上的 $n$ 维线性空间, $varphi$ 是 $V$ 上的线性变换. 证明: 若 $varphi$ 有 $r$ 维不变子空间, 则 $varphi$ 必有 $n-r$ 维不变子空间.
[问题2021S09] 设 $A,B$ 是 $n\,(ngeq 2)$ 阶方阵, 已知 $AB$ 的 Jordan 标准型为 $J_n(0)$, 试求 $BA$ 的 Jordan 标准型, 并举例说明存在性.
[问题2021S10] 设 $S$ 是某些 $n$ 阶方阵构成的集合, 满足如下条件:
(1) $I_nin S$;
(2) 若 $A,Bin S$, 则 $ABin S$;
(3) 对任意的 $A,Bin S$, $(AB)^3=BA$ 成立.
证明: $S$ 中的矩阵可以同时对角化, 并且 $S$ 是有限集合.
[问题2021S11] 设 $S=egin{pmatrix} 0 & 1 \ -1 & 0 \ end{pmatrix}$, $J=egin{pmatrix} O & I_n \ -I_n & O \ end{pmatrix}$.
(1) 证明: $J$ 相似于 $mathrm{diag}{S,S,cdots,S}$;
(2) 设 $Ain M_n(mathbb{R})$, 满足 $A'J+JA=O$, 证明: $mathrm{e}^{tA'}Jmathrm{e}^{tA}=J$;
(3) 试求 $mathrm{e}^{tJ}$.
[问题2021S12] 设 $A$ 为 $n$ 阶正定实对称阵, $n$ 维实列向量 $alpha,eta$ 满足 $alpha'eta>0$, 证明: $H=A-dfrac{Aetaeta'A}{eta'Aeta}+dfrac{alphaalpha'}{alpha'eta}$ 是正定阵.
[问题2021S13] 设 $A$ 为 $n$ 阶半正定实对称阵, $S$ 为 $n$ 阶实反对称阵, 证明:
(1) $r(A+S)=r(Amid S)$;
(2) $|A+S|>0$ 的充要条件是 $r(Amid S)=n$.
[问题2021S14] 设 $A=(a_{ij})$ 为 $n$ 阶正定实对称阵, $A^{-1}=(b_{ij})$. 证明: $a_{ii}b_{ii}geq 1\,(forall\,1leq ileq n)$, 并且等号全部成立, 即 $a_{ii}b_{ii}=1\,(forall\,1leq ileq n)$ 当且仅当 $A$ 为对角阵.
[问题2021S15] 设 $n$ 维欧氏空间 $V$ 中 $n+1$ 个向量 $alpha_0,alpha_1,cdots,alpha_n$ 两两之间的距离都是 $d>0$. 令 $eta_i=alpha_i-alpha_0\,(1leq ileq n)$, 证明:
(1) $(eta_i,eta_j)=dfrac{d^2}{2}\,(1leq i eq jleq n)$;
(2) $eta_1,cdots,eta_n$ 是 $V$ 的一组基.
[问题2021S16] 若复方阵 $A$ 的特征值都是实数, 则记其中的最大, 最小特征值分别为 $lambda_{mathrm{max}}(A)$, $lambda_{mathrm{min}}(A)$. 设 $A$ 为 $n$ 阶实对称阵, $S$ 为 $n$ 阶实反对称阵, 证明: 对 $A+S$ 的任一特征值 $lambda_0$, 有: $$lambda_{mathrm{min}}(A)leqmathrm{Re}lambda_0leqlambda_{mathrm{max}}(A),\,\,\,\,lambda_{mathrm{min}}(-mathrm{i}S)leqmathrm{Im}lambda_0leqlambda_{mathrm{max}}(-mathrm{i}S).$$
[问题2021S17] 设 $n$ 阶复方阵 $A$ 的全体特征值为 $lambda_1,lambda_2,cdots,lambda_n$, 证明: $$sum_{i=1}^n|lambda_i|^2=inf_{det X eq 0}|X^{-1}AX|^2_{mathrm{F}},$$ 其中 $|\,cdot|_{mathrm{F}}$ 是由矩阵的 Frobenius 内积诱导的范数.
[问题2021S18] 设 $A$ 为 $n$ 阶实幂等阵, 证明: $A'A$ 的非零特征值都大于等于 1.