本文主要翻译自An Introduction to Gradient Descent and Linear Regression，原文写的通俗易懂，在文章最后还不忘推荐了一下吴恩达的机器学习课程。我不打算逐字逐句翻译，毕竟老外废话太多。
线性回归可以用最小二乘法直接求解。这里之所以选择线性回归的例子并用梯度下降求解，是为了阐明梯度下降算法的应用。
相关代码在这里。
简单来讲，线性回归的目的就是，对于一个给定的点集，找到一条直线对其进行拟合。考虑下图的数据：
假设我们要使用一条直线对上述点集进行拟合。首先使用标准的直线方程y = mx + b，其中m是斜率，b是y轴截距。为了找到最好的直线，我们需要确定最合适的m和b。
该类问题的标准解法是定义一个误差函数（error function）来度量什么样的拟合直线比较好。常用的误差函数如下所示：
其中，m，b分别是给定直线的斜率和y轴截距，这是一个以（m，b）为自变量的二元函数。python实现如下：
# y = mx + b
# m is slope, b is y-intercept
def computeErrorForLineGivenPoints(b, m, points):
totalError = 0
for i in range(0, len(points)):
totalError += (points[i].y - (m * points[i].x + b)) ** 2
return totalError / float(len(points))
Error值越小，说明直线对数据集拟合程度越好。对该函数求最小值，就能得到最好的拟合直线。
既然误差函数是一个二元函数，我们可以将其视为二维曲面，如下图所示：
每一个点都表示一条直线，并且高就是误差。在执行梯度下降迭代时，我们从曲面上某一点开始，向下移动存在最小的误差。
我们首先要计算梯度，因为梯度是下降最快的方向。分别对m和b求偏导数：
在迭代开始时，可以使用任意的m，b（误差函数是凸函数，求得的最小值一定是全局最小值）。每次迭代，都会重新计算偏导数（梯度）并更新m，b，得到一个比上次迭代更小的误差（如果学习率$alpha$过大，是有可能第i+1次迭代，误差高于第i次迭代的，不过第i+2次迭代，误差又会小于i+1次。总体上，误差还是越来越小的）。Python实现如下：
def stepGradient(b_current, m_current, points, learningRate):
# 求偏导数
b_gradient = 0
m_gradient = 0
N = float(len(points))
for i in range(0, len(points)):
b_gradient += -(2/N) * (points[i].y - ((m_current*points[i].x) + b_current))
m_gradient += -(2/N) * points[i].x * (points[i].y - ((m_current * points[i].x) + b_current))
# 更新m和b
new_b = b_current - (learningRate * b_gradient)
new_m = m_current - (learningRate * m_gradient)
return [new_b, new_m]
其中，learningRate是学习率$alpha$，也就是一次迭代的步长。
下图是2000次迭代的一些瞬间，我们从m = -1， b = 0开始。左侧展示了当前m和b的值（蓝点），以及经过的路径（黑线）。右侧是对应的拟合直线。
看了上图，有人也许会觉得奇怪。既然是从m = -1 b = 0开始的，那第一幅图的直线，为什么不经过原点（0,0）呢？事实上，图一的直线是经过原点的，只不过，图像的左下角不是我们习惯的原点，而是（-10，-5）点。我也不知道原作者为什么这么作图，反正这图看着有点考验智商。
我们也可以观察迭代次数和误差的关系，为确保梯度下降算法运行正确，我们可以确保每次迭代误差都是减小的。图像如下：
我们已经知道了怎么应用梯度下降求解线性回归问题。虽然在我们的例子中，模型是一条直线，但通过最小化误差函数来调整参数的思想，可以应用到高阶回归问题（regression problems that use higher order polynomials），或者机器学习的其他领域。
下面再介绍一些关于梯度下降的概念：
- 凸性（Convexity ）——在我们上述的线性回归问题中，只有一个极小值。我们的误差曲面是凸面（convex）。不管从哪一点开始迭代，总能达到最小值。一般情况下，曲面可能存在多个极小值，导致梯度下降算法陷入局部极小值，无法得到全局最小值。有很多方法来缓解这一问题。（例如：stochastic gradient search）
- 性能（Performance）——我们使用批梯度下降（vanilla gradient descent，也就是普通的梯度下降，计算误差函数关于参数在整个数据集上的梯度。相对的，还存在随机梯度下降），设置学习率为0.0005并迭代2000次。这是一个线搜索（line search），可以减少迭代次数。
- 收敛（Convergence）——我们不讨论对少次迭代后可以得到一个可接受的结果。一般两次迭代得到的误差之差小于某一个很小的常数，就可以停止迭代（例如，梯度接近于0）。