二、数据的表示与运算
数据如何表示，运算器如何运算，算的过程如何用电路和硬件来实现。
运算器
考纲要求
1.十、二、八、十六进制数及其相互转换。真值和机器数之间的关系以及BCD码、字符与字符串编码、效验码。
(重点)数据的表示原码、反码、补码、移码以及他们之间的关联与区别。
2.定点数的表示，定点数位移运算、原码定点数加/减运算、补码定点数的加减运算、定点数乘/除运算、溢出概念和判别方法。
3.浮点数的表示(浮点数的表示范围和IEEE754标准)和浮点数的加/减运算。
4.串行加法器和并行加法器、算术逻辑单元ALU的功能和结构。
定点数的表示
定点表示:约定机器中所有数据的小数点位置固定不变。由于约定在固定位置，小数点就不再使用记号“.”来表示。
通常将放到数值位最后面或者最前面，这样的数据表示成纯整数或纯小数。
1 无符号数的表示
用全部二进制代码表示表示数字，没有符号位。
8位二进制无符号数的范围
( 00000000~11111111) 0~2^8-1 (0~255)共256个数
问:为啥是2^8-1?
答:
1111 1111
最低位是 最高位是
1*2^0 ~ 1*2^7
s8 = 1*(1-2^8)/(1-2)
= 2^8-1
或者可以理解为加一位是1 1111 1111 是1*2^8 -1。
2. 有符号数的表示方法
定点数 x= x0 x1 x2 … xn 在机中表示如下(x0为符号位，0代表正号,1代表负号)
对于小数的表示:
小数点位置默认省略掉。
纯小数的表示范围
(x0 x1 x2 … xn 数值位各位均为0时绝对值最小;数值位各位均为1时绝对值最大)
即这些数为: -0.11……1 <= x <= +0.11……1
|n个1| |n个1|
上结论:
0<= | x | <= 1-2^-n
-(1-2^-n) <= | x | <= 1-2^-n
结论是怎么得到的呢?
答:
用八位二进制
2.纯整数的表示
纯整数的表示范围为
(x0 x1 x2 … xn 数值位各位均为0时 绝对值最小;数值位各位均为1时绝对值最大)
结论:
-(2^n-1) <= x <= 2^n -1 (1后面n个0)
0 <= |x| <=2^n-1
即 -11……1 <= x <= + 11……1
比如说32位二进制数，符号位占了一位 数值位占了31位，
问:
机器字长为32位，定点表示时，数符1位，尾数31位。
则:定点整数表示时,
最大正数值 = _________2^31 - 1______________， (011……1)
最小负数值 = ________-2^31 - 1______________。 (11……1)
定点小数表示时，
最大正数值 =__________1 – 2^-31____________， (01……1)
最小负数值 =________-(1 – 2^-31)___________。 (11……1)
十进制加法器可由BCD码(二-十进制码)来设计，它可以在二进制加法器的基础上加上适当的”校正”逻辑来实现，该校正逻辑可将二进制的”和”改编成所要求的十进制格式。
为了便于计算机的运算，必须对二进制的定点数进行合适的编码。
下面讲定点数的机器码表示:
- 原码表示法
原码就是数值的真值（绝对值）前面加上一个绝对值(正数0、负数1)。
若定点小数的原码形式为x0 x1 x2 … xn ,则原码表示的定义是
[x]原 = 0 + |x| = x (1 > x >= 0)
1 + |x| = 1-x (0 >= x >-1)
式中[x]原式机器数,x是真值
例如, x = + 0.1001，则 [x]原 = 0.1001
x = - 0.1001，则 [x]原 = 1.1001
对于0,原码机器中往往有”+0”、”-0”之分，故有两种形式:
[+0]原 = 0.000…0
[-0]原 = 1.000…0
一个n+1位(包括数值位和符号位)定点小数原码的表示范围是
-0.111…11 ~ +0.111…11
| n位 | | n位 |
-( 1 – 2^-n) <= x <= 1-2^n
若 定点整数 的原码形式为 x0 x1 x2 … xn， 则原码表示的定义是
[x]原 = 0 + | x | = x 2^n > x >=0
2^n + | x | = 2^n-x 0 >= x > -2^n
n+1位定点整数原码的表示范围是
-111…11 ~ + 111… 11
| n位 | | n位 |
-(2^n – 1) <= 2^n -1
对于0，原码机器中往往有”+0”、”-0”之分，故有两种形式:
[+0]原 = 0000…0
[-0]原 = 1000…0
n+1位定点整数原码的表示范围
-(2^n - 1) <= x <= 2^n -1
思考: n+1位定点整数原码能表示多少个数?有几个编码?
例如:1个字节8位，2^8 = 256
1位符号位，7位数值位，-127~+127 255个 因为0占了两个编码
(1) x和-x的原码转换
将[x]原的符号位(左端第一位)取反，既可得到[-x]原。
(2) 原码中0的表示不唯一。
纯小数: [+0]原 = 0.00…0, [-0]原 = 1.00…0
纯整数: [+0]原 = 00…0, [-0]原 = 100…0
(3) 若原码字长位n,总共有2^n个编码,但对应的真值只有2^n-1个。
因为[0]原占用了两个编码，因此原码表示范围较小(2^n个编码只能表示2^n-1个真值)。注意与补码的不同。
(4) 若原码字长位n,总共有2^n个编码,但对应的真值只有2^n个。
因为[0]原占用了两个编码，因此原码表示的范围较小(2^n个编码只能表示2^n-1个真值)。注意与后面补码的差异。
(5) 负数原码形式上大于正数的原码:
对于定点小数,当x>0时 0<[x]原<1;
当x<0 时 1<[x]原<2。
对于定点正数,当x>0时， x<[x]原<2^n-1;
当x<0 时， 2^n-1<[x]原<2^n。
(6) 原码的移位规则:
符号位不变，数值部分左移或右移，移出的空位填”0”。(左移一位相当于乘以2，右移一位相当于除以2)
优点:原码简单易懂，与真值转换容易,实现乘除法方便。
(乘除法数值位由两束的绝对值相乘/除得到,符号位由两束的符号位异或即可);
不足:1.原码中0的表示由两种，给使用带来了不便。
2.原码表示的加减法运算复杂，这是因为:当两数相加时如果时同号则数值相加，如果是异号，则进行减法。
2.补码表示法
举例1:假设现在的标准时间位4点正;而有一只表已经7点了,为了校准时间,可以采用两种方法:
将时针退7-4 = 3格；
将时针向后拨9格，7+9(mod 12) = 4。
这两种方法都能校准到4点。
减3和加9是等价的，即9是(-3)对12的
-3 = +9（mod12）
7-3和7+9(mod 12)等价，原因就是表指针超过12时，将12自动丢掉，最后得到16-12=4。从这里可以得到一个启示，就是负数用补码表示时可以把减法转换为加法。
7-3和7+9(mod 12) 等价，9称为-3对12的补码即:
补码的定义就是(mod+真值)
[X]补 = M + X(Mod M)
正数的补数等于本身。
负数的补码等于模与该数绝对值之差。
补码的性质:
(1) 几个特殊数值的补码表示:
0的补码表示
补码的表示范围比原码范围大
纯小数补码比原码多表示一个-1
纯整数补码比原码多表示一个-2^n
这个多表示的数来自于-0，将-0表示为上面的两个数。
所以，补码的表示范围:
8位正数/1位是符号位 7位是数值位
原码 -127~+127 255个数
补码 -128~+127之间 256个数
(3)补码和原码的关系
对于正数直接取其二进制数的表示构成补码。
即 若x>=0,[x]原=[x]补。
若 x<0 符号位不变，各位求反后最低位+1。
注意:补码中特殊数-1(纯小数)和-2^n(纯整数)的表示，在原码中没有对应表示。
(4)[x]补 和 [-x]补 的关系
·已知[x]补，将[x]补的各位(含符号位)取反，然后在最低位上加1，即得到[-x]补。反之亦然。
(5)补码的算数移位规则:
补码的左移(乘2):符号位不变，数值部分左移，最低位移出的空位填0；
补码的右移(除2):符号位不变，数值部分右移，最高位移除的空位填符号位。
(6)负数补码形式上大于正数的补码:
与原码类似
(7)补码的位扩展
例如将字节(8位二进制)表示的补码扩展位16位二进制表示的补码。
定点小数:在最低位用0扩展。
定点整数:在最高位用符号位扩展。
常用求补码的方法(与定义求补码比较):
- 若x>=0 则[x]补=x,符号位为0
若x<0 则将x绝对值的各位取反，然后再最低位上加1，符号位求1，即得到[x]补
- 若x>=0 数值位不变，符号位为0.
若x<0,数值位从最低位开始，对遇到的0和第一个1取其原来的代码，对第一个以后开始直至最高为均按位取反,符号位为1
3.反码表示法
二进制的各位数码0变为1，1变为0.
反码本身就是一个求补码的中间环节。
反码的主要作用就是求补码
对 定点小数，反码表示的定义为
[x]反 = x (1 > x >= 0) (mod(2-2^-n))
(2-2^-n) + x (0 >= x > -1)
其中n代表数的位数。
反码实质上是一种特殊的补码,其特殊支出在于反码的模比补码的模小一个最低位上的1。
对于0，有[+0]反和[-0]反之分
[+0]反 = 0.00…0
[-0]反 = 1.11…1
对于定点整数,反码表示的定义为
[x]反 = x 2^n > x >= 0
(2^n-1 – 1 ) + x 0 >= x > -2^n
反码的特点:
1) 在反码表示中，用符号位x0表示正负，形式与原码表示相同，0为正，1为负
2) 反码中,0 有两种表示形式
纯小数: [+0]反 = 0.00…0 [-0]反=1.11…1
3) 反码的表示范围与原码相同。注意,纯小数的反码不能表示为-1，纯整数的反码不能表示为-2^n
4.移码表示法
补码表示很难直接判断其真值大小。
浮点数的阶码是用移码来表示的。
人的直觉会觉得后面的比前面的大，然而并不是这样，也并没有什么卵用。
移码
模的指数比补码少1.
2^n+1次方
2^n次方
移码通常用于表示浮点数的阶码。由于阶码是个n位的正数，假定定点整数移码形式位x0,x1,x2..xn时，
对定点整数，移码的传统定义是n位数值真值加上一个固定常数2^n
[x]移 = 2^n + x 2^n > x >= -2^n
对定点小数，移码的传统定义是真值加上一个固定常数1
[x]移 = 1+x +1 > x >= -1
若阶码数值部分为7位，以x表示真值，则
[x]移 = 2^7 + x = 128 + x 128 > x >= -128
例如,当正数 x = +1010101时,
[x]移 = 2^7 + 1010101
= 1,0000000 + 1010101
= 1,1010101;
当负数 x = -1010101时，
[x]移 = 2^7 + x = 2^7 – 1010101
= 10000000 – 1010101
= 0,0101011
移码中的逗号不是小数点，而是表示左边一位是符号位。
移码中符号位x0表示的规律与原码、补码、反码相反(0表示负1表示正)
(1)移码的几何性质
移码表示的实质是把真值映像到一个正数域，因此移码的大小可以直观的反应真值的大小。
不管整数还是负数，用移码表示时，可以按无符号数比较大小。
(1) 移码中”0”的表示
移码中”0”的表示是唯一的
[+0]移 = [-0]移 = 2^n+- 0 … 0 = 10…0 (纯整数)
移码的表数范围与补码一致。
纯整数移码表示的最小数可以表示到-2^n
(2) 移码与补码的关系
x>=0 时，[x]补=x,[x]移=2^n+x [x]移 = [x]补 + 2^n
x< 0 时, [x]补 = 2^(n+1) + x , [x]移 = 2^n + x , [x]移 = 2^n + [x]补 – 2^n+1
= [x]补 – 2^n
x = + 1011010
[x]补 = 01011010
[x]移 = 2^n+x = 2^7+1011010 = 11011010
(3) 移码的符号位:
0表示负数,1表示正数，和原码、反码、补码不同。
(4) 移码与真值的线性关系:
移码的顺序和真值完全一致，因此移码在表示阶码时可以方便的进行大小的比较，其结果与真值一致。
答:是32位机器，所以int类型是32位，y为短整形16位，
z = x + y
加减运算一定是补码运算
127 = 01111111 真值
è 0000,0000,0000,0000,0000,0000,0111,1111 = 0000007FH
-9 = 11001
-> 10111 -> 1111,1111,1111,0111 = FFF7H
127+（9）= 118 = 01110110
8位
1个符号位 7个数值位
表示范围是-128~+127
答案选B。
效验码
元件故障噪声干扰等各种因素常常导致计算机在处理信息过程中出现错误。为了
防止错误，可将信号采用专门的逻辑线路进行编码以检测错误，甚至校正错误。通常的方法是，在每个字上添加一些校验位，用来确定字中出现错误的位置。
- 奇偶校验码
组成奇偶校验码的基本方法:在n位有效信息位上增加一个二进制校验位，构成一个n+1位奇偶校验码。
奇校验:使n+1位的奇偶校验码中的1的个数为奇数。
偶校验:使n+1位的奇偶校验码中的1的个数为偶数。
B.海明校验码
海明校验实质上是一种多重奇偶校验。它将有效信息按某种规律分成若干组，每组安排一个校验位作奇偶测试，就能提供多位检错信息，以指出最大可能是哪位出错，从而将其纠正。
2.2.2 定点数的运算
定点加法减法运算
补码加法
负数用补码表示后，可以和正数一样来处理。
当需要减去一个x时可以用加上x对应的负数的补码[-x]补来代替。
这样，运算器里只需要一个加法器就可以了，不必为了负数的加法运算，再配一个减法器。
补码运算的基本规则:
- 运算的各个操作数均补码表示，运算结果仍是补码。
- 符号位与数值位一样参加运算。
- 求和求差直接加
- 补码是对确定的模而言，若运算结果超过了模，则将模自动丢掉。
2.2.23 溢出概念与检测方法
两个正数相加,结果大于机器所能表示的最大正数，称为上溢，而两个负数相加，结果小于机器所能表示的最小负数，称为下溢。
为了判断”溢出”是否发生，可采用两种检测的方法。第一种方法是采用双符号位法。
双符号位法又称变形补码,符号位又两位用”00”表示正,“11“表示负。
*了解
2.2 定点乘法运算
2.2.1 原码一位乘法
1.分析笔算乘法
A=-0.1101 B = 0.1011
0.1101
X 0.1011
_____________
1101
1101
0000
1101
0.10001111
乘积的符号心算求得
符号位单独处理
乘数的某一位决定是否加被乘数
4个积一起相加
乘积的位数扩大一倍
乘法改进
A*B = A* 0.1011 = A*(0.1+0.00+0.001+0.0001)
= 0.1*A + 0.00*A + 0.001*A + 0.0001*A
= 0.1{A+0.1[0*A+0.1*(A+0.1*A)]}
乘->移+加
[乘积] 0
小结
乘法 运算可用 加和移位实现
n = 4, 加4次,移4次
由成熟的末位决定被乘数是否与原部分积相加，然后à1位形成新的部分积，同时乘数->1位(末位移丢), 空出高位存放部分积的低位。
被乘数只与部分积的高位相加
硬件: 3个寄存器，具有移位功能。
1 个全加器
2.4 定点除法运算
2.4.1 原码除法运算原理
机器的运算过程和人不同，人会心算，一看就知道够不够减。
但机器却不会心算，必须先作减法。
若余数位正，才知道够减；若余数位负，才知道不够减。
不够减时必须恢复原来的余数，以便再继续往下运算。这种方法称为恢复余数法。
要回复原来的余数，只要当前的余数
恢复余数法
余数为正 商1
余数为负 商0，恢复余数
由于要恢复余数，使除法进行过程的步数不固定，因此控制比较复杂。
2.浮点数的表示方法
骚操作
2.6.1 浮点加法、减法运算
(3)尾数求和运算
(4)结果规格化
2.5算数逻辑单元ALU
2.5.1多功能算数/逻辑运算单元(ALU)
由一位全加器(FA)构成的行波进位加法器，它可以实现加法运算和减法运算。
但是这种加法/减法器存在两个问题:
一是由于串行进位，它的运算时间很长。
假如加法器由n位全加器构成，每一位的进位延迟时间为20ns，那么最坏情况下，进位信号从最低位传递到最高为而最后输出稳定，至少需要nX20ns这在高速计算中显然是不利的
