图论 公约数 找环和链 BZOJ [NOI2008 假面舞会]

BZOJ 1064: [Noi2008]假面舞会

Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 162 MB
Submit: 1655  Solved: 798
[Submit][Status][Discuss]

Description

一年一度的假面舞会又开始了，栋栋也兴致勃勃的参加了今年的舞会。今年的面具都是主办方特别定制的。每个参加舞会的人都可以在入场时选择一 个自己喜欢的面具。每个面具都有一个编号，主办方会把此编号告诉拿该面具的人。为了使舞会更有神秘感，主办方把面具分为k (k≥3)类，并使用特殊的技术将每个面具的编号标在了面具上，只有戴第i 类面具的人才能看到戴第i+1 类面具的人的编号，戴第k 类面具的人能看到戴第1 类面具的人的编号。 参加舞会的人并不知道有多少类面具，但是栋栋对此却特别好奇，他想自己算出有多少类面具，于是他开始在人群中收集信息。 栋栋收集的信息都是戴第几号面具的人看到了第几号面具的编号。如戴第2号面具的人看到了第5 号面具的编号。栋栋自己也会看到一些编号，他也会根据自己的面具编号把信息补充进去。由于并不是每个人都能记住自己所看到的全部编号，因此，栋栋收集的信 息不能保证其完整性。现在请你计算，按照栋栋目前得到的信息，至多和至少有多少类面具。由于主办方已经声明了k≥3，所以你必须将这条信息也考虑进去。

Input

第一行包含两个整数n, m，用一个空格分隔，n 表示主办方总共准备了多少个面具，m 表示栋栋收集了多少条信息。接下来m 行，每行为两个用空格分开的整数a, b，表示戴第a 号面具的人看到了第b 号面具的编号。相同的数对a, b 在输入文件中可能出现多次。

Output

包含两个数，第一个数为最大可能的面具类数，第二个数为最小可能的面具类数。如果无法将所有的面具分为至少3 类，使得这些信息都满足，则认为栋栋收集的信息有错误，输出两个-1。

Sample Input

【输入样例一】

6 5
1 2
2 3
3 4
4 1
3 5

【输入样例二】

3 3
1 2
2 1
2 3

Sample Output

【输出样例一】
4 4

【输出样例二】
-1 -1

HINT

100%的数据，满足n ≤ 100000, m ≤ 1000000。

网上的代码+我的注解：

/*
1.当图中有环时，k必定是环长度的约数，那么答案就是全部环的最大公约数和最小的大于3的公约数
（而且可以看出这个最大公约数一定是这个大于3的最小公约数的倍数，
证明：假设真正的结果是m，因为最大公约数一定是n*m(n>=1),大于三的最小公约数一定是m的约数，
所以这个最大公约数一定是这个大于3的最小公约数的倍数。可以用这个方法从最大值找到最小值），
若最大公约数小于3则无解；
2.当图中没有环时，最小值毫无疑问就是3了，k最大就是所有联通块最长链
（假设每个联通块的最长链都可以接到一起，不能在一个联通块里找两条链，因为他们是有限制关系的，不能接起来）的和。
3技巧：这里面有个技巧，因为如果有两个面具能看见同一个或一个能看见两个，那这两个的一定属于同一类，而且也有可能出现这样的联通块：1->2->3->4->5且6->7->5这样就变得不好处理了。可以把有向边换成无向边正向的话类数+1，反向的话类数-1。这样一来如果找到已经表过号的点就是找到了环，环的长度就是abs(将要编的号-已有编号)。而最长链就是一个联通块内最大编号-最小编号（因为有可能出现负数或0）。
实现时，所有边建长度为1的正向边和长度为-1的反向边，会容易处理很多(这样可以将所有点都标记成到某点距离为多少，可以方便计算环的长度)。

时间复杂度分析：
标号的时间复杂度为O（n+m），枚举的时间复杂度是O（n）,找公约数的时间为O（log(n)），所以总时间复杂度为O（nlog(n)+m）.
*/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#define N 200000
#define M 4000000

using namespace std;

int head[N],next[M],to[M],len[M];
bool vis[N],bh[M];
int d[N];
int n,m,cnt,ans,tmax,tmin,an;

inline void add(int u,int v,int w)
{
    to[cnt]=v; len[cnt]=w; next[cnt]=head[u]; head[u]=cnt++;
}

inline void read()
{
    memset(head,-1,sizeof head); cnt=0;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1,a,b;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d",&a,&b);
        add(a,b,1); add(b,a,-1);
    }
}

inline int gcd(int x,int y)/*ans的初值可以设为0，gcd(0,100)=100,只要把0放在第一位*/
{
    int ys;
    while(y)
    {
        ys=x%y;
        x=y; y=ys;
    }
    return x;
}

inline void dfs(int u)
{
    vis[u]=true;
    for(int i=head[u];~i;i=next[i])
    {
        if(vis[to[i]])/*找到了环*/
        {/*计算环的长度并对每个环的长度求最大公约数：abs(d[u]+len[i]-d[to[i]])，这个式子很好理解d[u]+len[i]-d[to[i]]，因为标记有可能是负值，所以要取绝对值*/
            ans=gcd(ans,abs(d[u]+len[i]-d[to[i]]));
        }
        else
        {
            d[to[i]]=d[u]+len[i];
            dfs(to[i]);
        }
    }
}

inline void tree(int u)
{/*思路：将一个联通块找到第一个点标记为0，再用这个点找其他的点（不走重边），用所有点的编号的中的max-min+1，就是这个联通块中的结点数目*/
    vis[u]=true;
    tmax=max(tmax,d[u]);
    tmin=min(tmin,d[u]);
    for(int i=head[u];~i;i=next[i])
        if(!vis[to[i]])
        {
            bh[i]=bh[i^1]=true;
            d[to[i]]=d[u]+len[i];
            tree(to[i]);
        }
}

inline void go()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(!vis[i]) dfs(i);/*整张图有可能是森林*/
    if(ans)/*如果图中有环的话，那么ans就不是0*/
    {
        for(an=3;an<ans&&ans%an;an++);/*再用ans寻找大于3的（可能等于ans），且能整除ans的，也就是环的最小公约数，是最小*/
    }
    else/*没有环的情况*/
    {
        memset(vis,0,sizeof vis);
        for(int i=1;i<=n;i++)
            if(!vis[i])/*最大是每个联通块中的最长链的长度和，没找到一个！vis[i]，就是一个联通块*/
            {
                tmax=tmin=d[i]=0;
                tree(i);
                ans+=tmax-tmin+1;
            }
        an=3;/*最小就是3了*/
    }
    if(ans<3) ans=an=-1;/*注意要把这个ans小于3，放在最后面，因为可能在没有环的情况下，把各个联通块的最长路径加在一起也超不过3，比如那种极端的网状图，最长路径就有可能是1了，所以要把这个ans<3放在外面。*/
    /*我一开始就是仅仅把ans<3放到了有环的判断中，结果错了一个点*/ 
    printf("%d %d
",ans,an);
}

int main()
{
    read();go();
    return 0;
}

我的代码：

#define N 100010
#define M 1000100
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
#include<cstdio>
int n,m,ans=0,an,head[N],t=-1,d[N];
bool vis[N]={0},bianflag[M<<1];
struct Edge{
    int v,w,last;
}edge[M<<1];
int read1()
{
    int ret=0,ff=1;
    char s=getchar();
    while(s<'0'||s>'9')
    {
        if(s=='-') ff=-1; 
        s=getchar();
    }
    while(s>='0'&&s<='9')
    {
        ret=ret*10+s-'0';
        s=getchar();
    }
    return ret*ff;
}
void add_edge(int u,int v,int w)
{
    ++t;
    edge[t].v=v;
    edge[t].w=w;
    edge[t].last=head[u];
    head[u]=t;
}
void input()
{
    n=read1();m=read1();
    int a,b;
    memset(head,-1,sizeof(head));
    for(int i=1;i<=m;++i)
    {
        scanf("%d%d",&a,&b);
        add_edge(a,b,1);
        add_edge(b,a,-1);
     } 
}
int gcd(int a,int b)
{
    if(!b) return a;
    return gcd(b,a%b);
}
void dfs1(int k)
{
    vis[k]=true;
    for(int l=head[k];l!=-1;l=edge[l].last)
    {
        if(vis[edge[l].v])
        {
            ans=gcd(ans,abs(d[k]+edge[l].w-d[edge[l].v]));
        }
        else {
            d[edge[l].v]=d[k]+edge[l].w;
            dfs1(edge[l].v);
        }
     } 
}
void dfs2(int k,int &maxx,int &minn)
{
    vis[k]=true;
    maxx=max(maxx,d[k]);
    minn=min(minn,d[k]);
    for(int l=head[k];l!=-1;l=edge[l].last)
    {
        if(bianflag[l]) continue;
        bianflag[l]=true;
        bianflag[l^1]=true;
        d[edge[l].v]=d[k]+edge[l].w;
        dfs2(edge[l].v,maxx,minn);
    }
 } 
int main()
{
    input();
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        if(!vis[i]) dfs1(i); 
    }
    if(ans)
    {
            for(an=3;an<ans&&ans%an;++an); 
        
     }
     else 
     {
         an=3;
         memset(vis,false,sizeof(vis));
        for(int i=1;i<=n;++i)
        {
            if(!vis[i])
            {
                int maxx,minn;
                maxx=minn=d[i]=0;
                dfs2(i,maxx,minn);
                ans+=maxx-minn+1;
                //cout<<maxx<<" "<<minn<<" "<<ans<<endl; 
            }
         } 
     }
     if(ans<3)
    {
        ans=-1;an=-1; 
    }
     printf("%d %d",ans,an);
    return 0;
}