自然数幂和[第二类斯特林数求法]

自然数幂和

写在前面

1. 本文中提到的斯特林数和S都指代第二类斯特林数
2. (S_{k,j})表示把k个有区别的球放入j个无区别的盒子的方案数 [不存在空盒]

推导

对于一个(i^k)

可以具体理解为有 (i) 个不同的盒子，把 (k) 个不同的球放入盒子中的方案数。[允许空盒]

现在把允许空盒 转化成 求所有盒子都至少放入一个球的方案数

首先枚举放了至少一个球的盒子个数，设为$ j$

那么对于存在(k-j)个空盒的方案就为 (S_{k,j}*C_{i,j}*j!)

对于一个 (i^k) ,可以表示为 $$ sum limits {j=1}^{i} S{k,j}C_{i,j}j! $$

然后就可以表示出 (sum limits ^{n}_{i=0} i^k) 的方案：$$ sum limits {i=0}^{n}sumlimits {j=1}^{i} S{k,j}*C{i,j}*j! $$

然后讨论 (S_{k,j})的系数和： (sum limits ^{n}_{i=0} C_{i,j} *j!) ，即 (j!* sumlimits^{n}_{i=0} C_{i,j})

已知： (sum limits_{i=0}^{n}C_{i,j}=C_{n+1,j+1})

所以 (S_{j,k})的系数为 (j!*C_{n+1,j+1})

那么就可以知道 (sum limits ^{n}_{i=0} i^k= sumlimits_{j=1}^{n}S_{k,j}*j!*C_{n+1,j+1})

然后预处理斯特林数和组合数就可以解决了.

(By) (Zerokei)