总的来说,算法复杂度包含算法时间复杂度和算法空间复杂度两部分。在不同的应用场景下,时间效率和空间效率侧重点各有不同。
算法时间复杂度定义:在进行算法分析时,语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数,进而分析T(n)随n的变化情况并确
定T(n)的数量级。算法的时间复杂度,也就是算法的时间量度,记作:T(n)= O(f(n))。它表示随问题规模n的增大,算法
执行时间的增长率和f(n)的增长率相同,称作算法的渐进时间复杂度,简称为时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数。
对算法的时间分析一般基于最坏情况运行时间,所谓最坏运行时间是一种保护,那就是运行时间将不会再坏了。在应用中,这是一种
最重要的需求,通常,除非特别指定,我们提到的运行时间都是最坏情况的运行时间,求得的是最坏时间复杂度。
除此之外,还有一些情况会基于平均运行时间来计算,这种复杂度称为平均时间复杂度。
这样用大写O()来体现算法时间复杂度的算法,我们称之为大O记法。一般情况下,随着n的增大,T(n)增长最慢的算法为最优算
法 。
推导大O()阶的方法如下:
1.用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2.在修改后的运行次数函数中,只保留最高阶项。
3.如果最高阶项存在且不是1,则去除与这个项相乘的常数。
得到的结果就是大O阶。
例子1:
1 for(int i=0; i<n; i++){ 2 for(int j=i; j<n; j++){ 3 System.out.println("执行一次"); 4 } 5 }
i=0时,j=0,j循环执行n次
i=1时,j=1,j循环执行n-1次
i=2时,j=2,j循环执行n-2次
推广到
i=n-1时,j=n-1,j循环执行1次
Sn=n+n-1+n-2+...+1=n×(n+1)/2
时间复杂度为:O(n2)
例子2:
1 for(int i=0; i<n; i++){ 2 for(int j=2*i; j<n; j++){ 3 System.out.println("执行一次"); 4 } 5 }
i=0时,j=0,[0,n)内循环n次
i=1时,j=2,[2,n)内循环n-2次
i=2时,j=4,[4,n)内循环n-4次
推广到
i=(n/2)-1,j=n-2,[n-2,n)内循环2次
i=n/2时,j=n,跳出循环
综上Sn=n+n-2+n-4+...+2
共n/2项,首项为n,公差-2
输出语句执行了(n²+2n)/4次
时间复杂度为:O(n²)
常见的时间复杂度如下:
执行次数函数举例 | 阶 | 非正式术语 |
---|---|---|
12 | O(1) | 常数阶 |
2n+3 | O(n) | 线性阶 |
3n2+2n+1 | O(n2) | 平方阶 |
5log2n+20 | O(logn) | 对数阶 |
2n+3nlog2n+19 | O(nlogn) | nlogn阶 |
6n3+2n2+3n+4 | O(n3) | 立方阶 |
2n | O(2n) | 指数阶 |
注:一般将log2n(以2为底的对数)简写成log
所消耗的时间从小到大
O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n^2) < O(n^3) < O(2^n) < O(n!) < O(n^n)
算法空间复杂度定义:算法的空间复杂度通过计算算法所需要的存储空间实现,算法空间复杂度的计算公式是
S(n)=O(f(n)),其中,n为问题的规模,f(n)为语句关于n所占存储空间的函数。
一般情况下,一个程序在机器上执行时,除了需要存储程序本身的指令、常数、变量和输入数据外,还需要存储
对数据操作的存储单元。
对于算法空间复杂度的重要性,自己应该算是有切身体会的,之前在编写“六点调平程序”时出现过因为程序代码
太长,导致板子Flash空间不足的情况。最终通过一方面修改CMD文件,引入外扩flash,一方面精简优化程序和
运行逻辑,双管齐下才解决了问题。对于嵌入式编程,一方面需要追求代码运行时间上的效率,也要兼顾代码运
行空间上的效率,毕竟硬件资源有限,且用且珍惜。