矩阵快速幂模板+常用变式

矩阵乘法（矩阵乘矩阵）

在向量乘向量的运算中，是将每个元素与它对应的元素相乘，求所有乘积之和

那么矩阵乘矩阵是不是就是两个同型矩阵的对应元素相乘呢？

图样图森破

两个矩阵相乘的前提是前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数

举个栗子，AAA为n∗kn*kn∗k矩阵，BBB为k∗mk*mk∗m矩阵，CCC为m∗nm*nm∗n矩阵，那么AAA可以与BBB相乘，BBB可以与CCC相乘，CCC可以与AAA相乘，其他均不成立

我们知道了什么情况下两个矩阵可以相乘，那么他们怎么相乘呢？不讲每个对应位置相乘还能怎么乘呢？

设AAA为n∗kn*kn∗k矩阵，BBB为k∗mk*mk∗m矩阵,那么它们的乘积CCC则为一个n∗mn*mn∗m矩阵

Ci,j=∑r=1kAi,r∗Br,jC_{i,j}=sum_{r=1}^kA_{i,r}*B_{r,j}Ci,j​=∑r=1k​Ai,r​∗Br,j​

是不是不太好理解，没关系看看图就知道了

在矩阵乘法中满足以下运算律：

(AB)C=a(BC)(AB)C=a(BC)(AB)C=a(BC)

(A+B)C=AC+BC(A+B)C=AC+BC(A+B)C=AC+BC

C(A+B)=CA+CBC(A+B)=CA+CBC(A+B)=CA+CB

---

了解了这么多，我们开始看题，矩阵快速幂，由于矩阵乘法满足结合律，所以我们只需要把它按照一般的快速幂打，再重载一下运算符就可以了，好了我们直接放一道模板题：

题目描述

给定n*n的矩阵A，求A^k

输入输出格式

输入格式：

第一行，n,k

第2至n+1行，每行n个数，第i+1行第j个数表示矩阵第i行第j列的元素

输出格式：

输出A^k

共n行，每行n个数，第i行第j个数表示矩阵第i行第j列的元素，每个元素模10^9+7

输入输出样例

输入样例#1： 复制

2 1
1 1
1 1

输出样例#1： 复制

1 1
1 1

说明

n<=100, k<=10^12, |矩阵元素|<=1000

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define MOD 1000000007
using namespace std;
typedef long long int ll;
struct mat
{
	ll a[105][105];
}ans,res;//用二维数组来存储矩阵 
ll k;
ll n;
mat Mul(mat x,mat y,ll n)//定义矩阵乘法，其中n是矩阵的阶数 
{
	mat t;//用来存储乘完之后的结果 
	memset(t.a,0,sizeof(t.a));
	for(int i=0;i<n;i++)
	for(int j=0;j<n;j++)
	{
		for(int k=0;k<n;k++)
		{
			t.a[i][j]+=x.a[i][k]*y.a[k][j];
			t.a[i][j]%=MOD;
		}
	}
	return t;
}
void quickMod(ll N,ll n)//N是求幂的次数，n是阶数 
{
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		for(int j=0;j<n;j++)
		{
			if(i==j)
			ans.a[i][j]=1;
			else
			{
				ans.a[i][j]=0;
			}
		}
	}//这个过程是求单位矩阵的过程，类似于矩阵快速幂里面的ans=1； 
	while(N)
	{
		if(N&1)
		{
			ans=Mul(ans,res,n);//矩阵乘法不满足交换律，切记 
		}
		N>>=1;
		res=Mul(res,res,n);
	}
}
int main()
{
	scanf("%lld%lld",&n,&k);
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		for(int j=0;j<n;j++)
		{
			scanf("%lld",&res.a[i][j]);
		}
	}//相当于把第一个矩阵赋初值 
	quickMod(k,n);
	for(int i=0;i<n;i++)//输出矩阵的过程 
	{
		for(int j=0;j<n;j++)
		{   if(j==0)
			printf("%lld",ans.a[i][j]);
			else
			printf(" %lld",ans.a[i][j]);
		}
		printf("
");
	}
	return 0;
}

想必大家对于矩阵快速幂有了一定的了解，那么矩阵快速幂可以用了做什么呢？

可以去求解递推式的问题，比如斐波那契数列

下列就附上求解斐波那契数列的代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define MOD 1000000007
using namespace std;
typedef long long int ll;
struct mat
{
	ll a[4][4];
}ans,res;
mat Mul(mat x,mat y)
{
	mat t;
    memset(t.a,0,sizeof(t.a));
    for(int i=0;i<2;i++)
    {
    	for(int j=0;j<2;j++)
    	{
    		for(int k=0;k<2;k++)
    		{
    			t.a[i][j]+=(x.a[i][k]*y.a[k][j]);
    			t.a[i][j]%=(MOD-1);
			}
		}
	}
	return t;
}
void quickMod(long long int N)
{
	ans.a[0][0]=1;
	ans.a[0][1]=0;
	ans.a[1][0]=0;
	ans.a[1][0]=1;
	while(N)
	{
		if(N&1)
		{
			ans=Mul(ans,res);
		}
		res=Mul(res,res);
	    N>>=1;
	}
 } 
int main()
{
	ll n;
	while(scanf("%lld",&n)!=EOF)
   {
	res.a[0][0]=1;
	res.a[0][1]=1;
	res.a[1][0]=1;
	res.a[1][1]=0;
   	quickMod(n);
   	printf("%lld
",ans.a[0][0]);
   }
	return 0;
 } 

斐波那契数列还有很多变式(摘自杨紫陌学长的博客，链接https://www.cnblogs.com/yzm10/

矩阵快速幂求long long级斐波那契（变形）。

f[n]=a*f[n-1]+b*f[n-2], f[1]=a1,f[2]=a2, MOD=...

由得：

其他变形：

1.f(n)=a*f(n-1)+b*f(n-2)+c；（a,b,c是常数）

2.f(n)=c^n-f(n-1) ；（c是常数）