[luogu1742]最小圆覆盖

考虑维护包含前$i$个点的最小圆，并不断加入下一个点——

若加入的点被该圆包含，显然答案不变，否则该点必然在新的最小圆边界上

换言之，此时得到了一个确定边界上某点的子问题，并用类似的方式处理

以此类推，当第$3$轮中出现此情况时，即得到了圆边界上的三点，进而解出该圆

具体的，以距离圆心相等建立方程，化简后为二元一次方程组

同时，注意到更新后圆上至多含有$3$点，因此第$i$个点更新的概率不超过$\frac{3}{i}$

归纳每一轮的复杂度均为$o(n)$，代入即$o(n)+\sum \frac{3}{i}o(i)=o(n)$，显然成立

时间复杂度为$o(n)$（期望），可以通过

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 100005
#define eps 1e-9
int n;mt19937 rnd(0);
struct Point{
    double x,y;
    Point operator + (const Point &k)const{
        return Point{x+k.x,y+k.y};
    }
    Point operator - (const Point &k)const{
        return Point{x-k.x,y-k.y};
    }
    Point operator * (const double &k)const{
        return Point{x*k,y*k};
    }
    double operator * (const Point &k)const{
        return x*k.y-y*k.x;
    }
    double len(){
        return sqrt(x*x+y*y);
    }
    double Len(){
        return x*x+y*y;
    }
}a[N];
struct Circle{
    double r;Point o;
    bool check(Point &k){
        return (o-k).len()<=r+eps;
    }
}ans;
Circle get_cir(Point &a,Point &b){
    return Circle{(a-b).len()/2,(a+b)*0.5};
}
Circle get_cir(Point &a,Point &b,Point &c){
    Point A=(b-a)*2,B=(c-a)*2;double s=1/(A*B);
    Point C=Point{b.Len()-a.Len(),c.Len()-a.Len()};
    Point o=Point{C*Point{A.y,B.y},Point{A.x,B.x}*C}*s;
    return Circle{(o-a).len(),o};
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lf%lf",&a[i].x,&a[i].y);
    shuffle(a+1,a+n+1,rnd);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if (!ans.check(a[i])){
            ans=Circle{0,a[i]};
            for(int j=1;j<i;j++)
                if (!ans.check(a[j])){
                    ans=get_cir(a[i],a[j]);
                    for(int k=1;k<j;k++)
                        if (!ans.check(a[k]))ans=get_cir(a[i],a[j],a[k]);
                }
        }
    printf("%.9f\n%.9f %.9f\n",ans.r,ans.o.x,ans.o.y);
    return 0;
}