• 【bzoj3757】 苹果树


    http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3757 (题目链接)

    MD调了好久,最后蒯了几个标程交上去,没想到都RE了。。。最后才看到: 
    这里写图片描述 
    = =

    题意

      求树上两点间路径上有多少个不同的点权。

    Solution

      像这种树链剖分解决不了的问题,大概就是树上莫队。

      我们dfs一遍对树分块,这个很简单,不会的见bzoj1086。之后对询问(u,v)以在u所在的块的位置为第一关键字,v的dfs序为第二关键字。其实这对于我们之后处理问题没有任何帮助,只是保证莫队的复杂度为nsqrtn,因为每个块的大小为sqrt(n),块的个数也是sqrt(n),所以这样以dfs序为第二关键字排序后,在每个块内进行修改的话,最坏情况顶多是走遍整棵树,O(n)。

      怎么插入删除以及求解呢?蒯了一个神题解,不过有公式恐惧症的我看了几眼就不想看了,直接磨标程去了。。 
      

    用S(v, u)代表 v到u的路径上的结点的集合。 
    用root来代表根结点,用lca(v, u)来代表v、u的最近公共祖先。 
    那么 
    S(v, u) = S(root, v) xor S(root, u) xor lca(v, u) 
    其中xor是集合的对称差。 
    简单来说就是节点出现两次消掉。 
    lca很讨厌,于是再定义 
    T(v, u) = S(root, v) xor S(root, u) 
    观察将curV移动到targetV前后T(curV, curU)变化: 
    T(curV, curU) = S(root, curV) xor S(root, curU) 
    T(targetV, curU) = S(root, targetV) xor S(root, curU) 
    取对称差: 
    T(curV, curU) xor T(targetV, curU)= (S(root, curV) xor S(root, curU)) xor (S(root, targetV) xor S(root, curU)) 
    由于对称差的交换律、结合律: 
    T(curV, curU) xor T(targetV, curU)= S(root, curV) xorS(root, targetV) 
    两边同时xor T(curV, curU): 
    T(targetV, curU)= T(curV, curU) xor S(root, curV) xor S(root, targetV) 
    发现最后两项很爽……哇哈哈 
    T(targetV, curU)= T(curV, curU) xor T(curV, targetV) 
    (有公式恐惧症的不要走啊 T_T) 
    也就是说,更新的时候,xor T(curV, targetV)就行了。 
    即,对curV到targetV路径(除开lca(curV, targetV))上的结点,将它们的存在性取反即可。 
    ” 
    ——vfk博客

      搞了这么多,其实道理很简单。对于一个询问,用数组p[i]记录颜色i在当前询问中出现了几次;vis[i]记录节点i是否已经算过了,如果已经算过了,那么就是要删除当前节点,反之则是要加入当前节点,顺便更新答案ans即可。

    代码的话我也不知道是不是正确的= = 

    代码

    // bzoj3757
    #include<algorithm>
    #include<iostream>
    #include<cstring>
    #include<cstdlib>
    #include<cstdio>
    #include<cmath>
    #define MOD 1000000007
    #define inf 2147483640
    #define LL long long
    #define free(a) freopen(a".in","r",stdin);freopen(a".out","w",stdout);
    using namespace std;
    inline LL getint() {
        LL x=0,f=1;char ch=getchar();
        while (ch>'9' || ch<'0') {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
        while (ch>='0' && ch<='9') {x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
        return x*f;
    }
    
    const int maxn=100010;
    struct edge {int to,next;}e[maxn<<2];
    struct ask {int u,v,a,b,id;}t[maxn];
    int cnt,n,q,m,block,top,ans;
    int head[maxn],dfn[maxn],fa[maxn][20],bin[20],deep[maxn],p[maxn];
    int st[maxn],pos[maxn],vis[maxn],c[maxn],a[maxn],res[maxn];
    
    void insert(int u,int v) {
        e[++cnt].to=v;e[cnt].next=head[u];head[u]=cnt;
        e[++cnt].to=u;e[cnt].next=head[v];head[v]=cnt;
    }
    int dfs(int x) {
        dfn[x]=++cnt;
        int size=0;
        for (int i=1;i<20;i++) fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1];
        for (int i=head[x];i;i=e[i].next) if (e[i].to!=fa[x][0]) {
                deep[e[i].to]=deep[x]+1;
                fa[e[i].to][0]=x;
                size+=dfs(e[i].to);
                if (size>=block) {
                    m++;
                    for (int j=1;j<=size;j++) pos[st[top--]]=m;
                    size=0;
                }
            }
        st[++top]=x;
        return size+1;
    }
    bool cmp(ask a,ask b) {
        return pos[a.u]==pos[b.u] ? dfn[a.v]<dfn[b.v] : pos[a.u]<pos[b.u];
    }
    int lca(int x,int y) {
        if (deep[x]<deep[y]) swap(x,y);
        int t=deep[x]-deep[y];
        for (int i=0;bin[i]<=t;i++) if (bin[i]&t) x=fa[x][i];
        for (int i=19;i>=0;i--)
            if (fa[x][i]!=fa[y][i]) x=fa[x][i],y=fa[y][i];
        return x==y?x:fa[x][0];
    }
    void work(int x) {
        if (!vis[x]) {vis[x]=1;p[c[x]]++;if (p[c[x]]==1) ans++;}
        else {vis[x]=0;p[c[x]]--;if (p[c[x]]==0) ans--;}
    }
    void solve(int u,int v) {
        while (u!=v) {
            if (deep[u]>deep[v]) work(u),u=fa[u][0];
            else work(v),v=fa[v][0];
        }
    }
    int main() {
        bin[0]=1;for (int i=1;i<20;i++) bin[i]=bin[i-1]<<1;
        scanf("%d%d",&n,&q);
        for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&c[i]);
        for (int i=1;i<=n;i++) {
            int u,v;
            scanf("%d%d",&u,&v);
            insert(u,v);
        }
        block=(int)sqrt(n);
        cnt=0;
        dfs(e[head[0]].to);
        m++;
        while (top) pos[st[top--]]=m;
        for (int i=1;i<=q;i++) {
            scanf("%d%d%d%d",&t[i].u,&t[i].v,&t[i].a,&t[i].b);
            if (dfn[t[i].u]>dfn[t[i].v]) swap(t[i].u,t[i].v);
            t[i].id=i;
        }
        sort(t+1,t+1+q,cmp);
        solve(t[1].u,t[1].v);
        int x=lca(t[1].u,t[1].v);
        work(x);
        res[t[1].id]=ans;
        if (p[t[1].a] && p[t[1].b] && t[1].a!=t[1].b) res[t[1].id]--;
        work(x);
        for (int i=2;i<=q;i++) {
            solve(t[i-1].u,t[i].u);
            solve(t[i-1].v,t[i].v);
            x=lca(t[i].u,t[i].v);
            work(x);
            if (p[t[i].a] && p[t[i].b] && t[i].a!=t[i].b) res[t[i].id]=ans-1;
            else res[t[i].id]=ans;
            work(x);
        }
        for (int i=1;i<=q;i++) printf("%d
    ",res[i]);
        return 0;
    }
    

      

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