[bzoj3270]博物馆

3270 博物馆

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Description

有一天Petya和他的朋友Vasya在进行他们众多旅行中的一次旅行，他们决定去参观一座城堡博物馆。这座博物馆有着特别的样式。它包含由m条走廊连接的n间房间，并且满足可以从任何一间房间到任何一间别的房间。
两个人在博物馆里逛了一会儿后两人决定分头行动，去看各自感兴趣的艺术品。他们约定在下午六点到一间房间会合。然而他们忘记了一件重要的事：他们并没有选好在哪儿碰面。等时间到六点，他们开始在博物馆里到处乱跑来找到对方（他们没法给对方打电话因为电话漫游费是很贵的）
不过，尽管他们到处乱跑，但他们还没有看完足够的艺术品，因此他们每个人采取如下的行动方法：每一分钟做决定往哪里走，有Pi 的概率在这分钟内不去其他地方（即呆在房间不动），有1-Pi 的概率他会在相邻的房间中等可能的选择一间并沿着走廊过去。这里的i指的是当期所在房间的序号。在古代建造是一件花费非常大的事，因此每条走廊会连接两个不同的房间，并且任意两个房间至多被一条走廊连接。
两个男孩同时行动。由于走廊很暗，两人不可能在走廊碰面，不过他们可以从走廊的两个方向通行。（此外，两个男孩可以同时地穿过同一条走廊却不会相遇）两个男孩按照上述方法行动直到他们碰面为止。更进一步地说，当两个人在某个时刻选择前往同一间房间，那么他们就会在那个房间相遇。
两个男孩现在分别处在a，b两个房间，求两人在每间房间相遇的概率。

Input

第一行包含四个整数，n表示房间的个数;m表示走廊的数目;a,b (1 ≤ a, b ≤ n),表示两个男孩的初始位置。
之后m行每行包含两个整数，表示走廊所连接的两个房间。
之后n行每行一个至多精确到小数点后四位的实数 表示待在每间房间的概率。
题目保证每个房间都可以由其他任何房间通过走廊走到。

Output

输出一行包含n个由空格分隔的数字，注意最后一个数字后也有空格，第i个数字代表两个人在第i间房间碰面的概率（输出保留6位小数）
注意最后一个数字后面也有一个空格

Sample Input

2 1 1 2

1 2

0.5

0.5

Sample Output

0.500000 0.500000

HINT

对于100%的数据有 n <= 20，n-1 <= m <= n(n-1)/2

解题思路

高斯消元+概率期望

非常巧妙，我们设f(i,j)表示第一个人到达i节点并且第二个人到达j节点的期望次数，显然如果i可以由p到达，j可以由q到达

f(i,j)+=f(p,q)*P

这里的P便是方程中变量f(p,q)的系数，即由状态f(p,q)转移至状态f(i,j)的概率，然后列方程求解，注意f(a,b)的时候常数项是1，移项后变为-1

源代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <cmath>
#define INF (1<<30)
#define LL long long 
#define EPS 0.0000000001
#define TOT (n*n)
using namespace std;
int n,m,a,b;
int T[50][50],cnt[50];
double A[500][500];double stay[50]; 
int code(int i,int j){
    return (i-1)*n+j;
}
void build(int x,int y){
    if(x==a&&y==b)A[code(x,y)][TOT+1]=-1;
    A[code(x,y)][code(x,y)]=-1;
    for(int i=1;i<=cnt[x];i++)
        for(int j=1;j<=cnt[y];j++){
            int p=T[x][i],q=T[y][j];
            if(p==q)continue;
            double p1,p2;
            if(x==p)p1=stay[p];else p1=(1-stay[p])/(cnt[p]-1);
            if(y==q)p2=stay[q];else p2=(1-stay[q])/(cnt[q]-1);
            A[code(x,y)][code(p,q)]+=p1*p2;
        }
}
void Gauss(){
    for(int i=1;i<=TOT;i++){
        int p=i;
        while(p<=TOT&&fabs(A[p][i])<EPS)p++;
        if(p>TOT)continue;
        if(p!=i)swap(A[i],A[p]);
        for(p=1;p<=TOT;p++)if(p!=i){
            double times=A[p][i]/A[i][i];
            for(int j=i;j<=TOT+1;j++)
                A[p][j]-=A[i][j]*times;
        }
    }
}
int main(){
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&a,&b);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int x,y;
        scanf("%d%d",&x,&y);
        T[x][++cnt[x]]=y;
        T[y][++cnt[y]]=x;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%lf",&stay[i]),T[i][++cnt[i]]=i;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            build(i,j);
    Gauss();
    for(int i=1;i<=n;i++)
        printf("%.6lf ",A[code(i,i)][TOT+1]/A[code(i,i)][code(i,i)]);
}