线性回归可以说是机器学习中最基本的问题类型了，这里就对线性回归的原理和算法做一个小结。
1. 线性回归的模型函数和损失函数
线性回归遇到的问题一般是这样的。我们有m个样本，每个样本对应于n维特征和一个结果输出，如下：
(x(0)1,x(0)2,...x(0)n,y0),(x(1)1,x(1)2,...x(1)n,y1),...(x(m)1,x(m)2,...x(m)n,yn)(x1(0),x2(0),...xn(0),y0),(x1(1),x2(1),...xn(1),y1),...(x1(m),x2(m),...xn(m),yn)
我们的问题是，对于一个新的(x(x)1,x(x)2,...x(x)n(x1(x),x2(x),...xn(x), 他所对应的yxyx是多少呢？ 如果这个问题里面的y是连续的，则是一个回归问题，否则是一个分类问题。
对于n维特征的样本数据，如果我们决定使用线性回归，那么对应的模型是这样的：
hθ(x1,x2,...xn)=θ0+θ1x1+...+θnxnhθ(x1,x2,...xn)=θ0+θ1x1+...+θnxn, 其中θiθi (i = 0,1,2... n)为模型参数，xixi (i = 0,1,2... n)为每个样本的n个特征值。这个表示可以简化，我们增加一个特征x0=1x0=1 ，这样hθ(x0,x1,...xn)=∑i=0nθixihθ(x0,x1,...xn)=∑i=0nθixi。
进一步用矩阵形式表达更加简洁如下：
hθ(X)=Xθhθ(X)=Xθ
其中， 假设函数hθ(X)hθ(X)为mx1的向量,θθ为nx1的向量，里面有n个代数法的模型参数。XX为mxn维的矩阵。m代表样本的个数，n代表样本的特征数。
得到了模型，我们需要求出需要的损失函数，一般线性回归我们用均方误差作为损失函数。损失函数的代数法表示如下：
J(θ0,θ1...,θn)=∑i=0m(hθ(x0,x1,...xn)−yi)2J(θ0,θ1...,θn)=∑i=0m(hθ(x0,x1,...xn)−yi)2
进一步用矩阵形式表达损失函数：
J(θ)=12(Xθ−Y)T(Xθ−Y)J(θ)=12(Xθ−Y)T(Xθ−Y)
由于矩阵法表达比较的简洁，后面我们将统一采用矩阵方式表达模型函数和损失函数。
2. 线性回归的算法
对于线性回归的损失函数J(θ)=12(Xθ−Y)T(Xθ−Y)J(θ)=12(Xθ−Y)T(Xθ−Y)，我们常用的有两种方法来求损失函数最小化时候的θθ参数：一种是梯度下降法，一种是最小二乘法。由于已经在其它篇中单独介绍了梯度下降法和最小二乘法，可以点链接到对应的文章链接去阅读。
如果采用梯度下降法，则θθ的迭代公式是这样的：
θ=θ−αXT(Xθ−Y)θ=θ−αXT(Xθ−Y)
通过若干次迭代后，我们可以得到最终的θθ的结果
如果采用最小二乘法，则θθ的结果公式如下：
θ=(XTX)−1XTYθ=(XTX)−1XTY
当然线性回归，还有其他的常用算法，比如牛顿法和拟牛顿法，这里不详细描述。
3. 线性回归的推广：多项式回归
回到我们开始的线性模型，hθ(x1,x2,...xn)=θ0+θ1x1+...+θnxnhθ(x1,x2,...xn)=θ0+θ1x1+...+θnxn, 如果这里不仅仅是x的一次方，比如增加二次方，那么模型就变成了多项式回归。这里写一个只有两个特征的p次方多项式回归的模型：
hθ(x1,x2)=θ0+θ1x1+θ2x2+θ3x21+θ4x22+θ5x1x2hθ(x1,x2)=θ0+θ1x1+θ2x2+θ3x12+θ4x22+θ5x1x2
我们令x0=1,x1=x1,x2=x2,x3=x21,x4=x22,x5=x1x2x0=1,x1=x1,x2=x2,x3=x12,x4=x22,x5=x1x2 ,这样我们就得到了下式：
hθ(x1,x2)=θ0+θ1x1+θ2x2+θ3x3+θ4x4+θ5x5hθ(x1,x2)=θ0+θ1x1+θ2x2+θ3x3+θ4x4+θ5x5
可以发现，我们又重新回到了线性回归，这是一个五元线性回归，可以用线性回归的方法来完成算法。对于每个二元样本特征(x1,x2)(x1,x2),我们得到一个五元样本特征(1,x1,x2,x21,x22,x1x2)(1,x1,x2,x12,x22,x1x2)，通过这个改进的五元样本特征，我们重新把不是线性回归的函数变回线性回归。
4. 线性回归的推广：广义线性回归
在上一节的线性回归的推广中，我们对样本特征端做了推广，这里我们对于特征y做推广。比如我们的输出YY不满足和XX的线性关系，但是lnYlnY 和XX满足线性关系，模型函数如下：
lnY=XθlnY=Xθ
这样对与每个样本的输入y，我们用 lny去对应， 从而仍然可以用线性回归的算法去处理这个问题。我们把 Iny一般化，假设这个函数是单调可微函数g(.)g(.),则一般化的广义线性回归形式是：
g(Y)=Xθg(Y)=Xθ 或者 Y=g−1(Xθ)Y=g−1(Xθ)
这个函数g(.)g(.)我们通常称为联系函数。
5. 线性回归的正则化
为了防止模型的过拟合，我们在建立线性模型的时候经常需要加入正则化项。一般有L1正则化和L2正则化。
线性回归的L1正则化通常称为Lasso回归，它和一般线性回归的区别是在损失函数上增加了一个L1正则化的项，L1正则化的项有一个常数系数αα来调节损失函数的均方差项和正则化项的权重，具体Lasso回归的损失函数表达式如下：
J(θ)=12n(Xθ−Y)T(Xθ−Y)+α||θ||1J(θ)=12n(Xθ−Y)T(Xθ−Y)+α||θ||1
其中n为样本个数，αα为常数系数，需要进行调优。||θ||1||θ||1为L1范数。
Lasso回归可以使得一些特征的系数变小，甚至还是一些绝对值较小的系数直接变为0。增强模型的泛化能力。
Lasso回归的求解办法一般有坐标轴下降法（coordinate descent）和最小角回归法（ Least Angle Regression），由于它们比较复杂，在我的这篇文章单独讲述： 线程回归的正则化-Lasso回归小结
线性回归的L2正则化通常称为Ridge回归，它和一般线性回归的区别是在损失函数上增加了一个L2正则化的项，和Lasso回归的区别是Ridge回归的正则化项是L2范数，而Lasso回归的正则化项是L1范数。具体Ridge回归的损失函数表达式如下：
J(θ)=12(Xθ−Y)T(Xθ−Y)+12α||θ||22J(θ)=12(Xθ−Y)T(Xθ−Y)+12α||θ||22
其中αα为常数系数，需要进行调优。||θ||2||θ||2为L2范数。
Ridge回归在不抛弃任何一个特征的情况下，缩小了回归系数，使得模型相对而言比较的稳定，但和Lasso回归比，这会使得模型的特征留的特别多，模型解释性差。
Ridge回归的求解比较简单，一般用最小二乘法。这里给出用最小二乘法的矩阵推导形式，和普通线性回归类似。
令J(θ)J(θ)的导数为0，得到下式：
XT(Xθ−Y)+αθ=0XT(Xθ−Y)+αθ=0
整理即可得到最后的θθ的结果：
θ=(XTX+αE)−1XTYθ=(XTX+αE)−1XTY
其中E为单位矩阵。
除了上面这两种常见的线性回归正则化，还有一些其他的线性回归正则化算法，区别主要就在于正则化项的不同，和损失函数的优化方式不同，这里就不累述了。