A. GCD vs LCM
1, n - 3, 1, 1
B. Array Cloning Technique
首先，最后全部相等的元素，肯定是选初始时出现次数最多的元素，记该元素为\(x\)，其出现次数为\(c\)。
然后每次复制，都是新的拷贝中，所有的\(x\)都拷回原数组。这里，易得把数拷回原数组的操作共有\(n - c\)次，然后只剩拷贝的操作了。
第一次复制出来的数组中包含\(c\)个\(x\)，第二次包含\(2c\)个，第三次包含\(4c\)个，以此类推。
然后模拟一下就好了。
C. Tree Infection
首先，这题只和每个节点的子节点个数有关，将所有非叶子节点的儿子个数记录下来，注意还有根节点也要算1次。
然后，先infect的点后续可以借助spread白嫖，所以排个序，贪心先搞儿子个数多的。
然后求最小值就跑个二分。
注意每次spread只能搞一个，就算这个集合中被多次infect了。
D. GCD Guess
比赛的时候就差最后一步没想明白，错失上分机会。
首先，从低位开始，每次确定\(x\)的一个位，这样是可以在30轮内完成的。
对于第\(1\)轮，\(a=2,b=4\)，\(gcd(x+a, x+b) = gcd(x+a, b - a) = gcd(x + a, 2)\)，如果返回结果为\(2\)说明\(x\)最低一位为0，反之为1。
对于第\(i\)轮，\(x\)的低\(i - 1\)位已经确定了，现在要确定其第\(i\)位。令\(a = 2^i - (x \mod 2^i)\)，\(b = a + 2^i\)，\(gcd(x+a,x+b) = gcd(x + a, b -a) = gcd(x + a, 2^i)\)，如果返回结果为\(2^i\)说明\(x\)第\(i\)位为0，反之为1。
但是这个做法在最后一轮的时候会因为\(b\)超过\(10^9\)挂掉，所以需要特判。
本来想着用\(gcd(2x,3x) = x\)来判断，但是发现\(3x\)会超出\(10^9\)，所以改用\(gcd(x + 1, 2x + 2) = x+1\)来判断。
E. MinimizOR
可以证明，区间\([l, r]\)的答案，一定是在其中最小的\(31\)个值数产生，找到区间最小的31个数，枚举两两或的结果，取最小值即为答案。
区间最小值可以想到线段树，然后最小的31个数可以每次取完最小就将对应位置改为无穷大，这样通过31次取最小和单点修改操作就可以获取最小的31个数，然后算完结果再恢复回去。
证明
命题：如果区间内最大值小于\(2^k\)，那么区间内的答案一定是在其中最小的\(k+1\)个数中产生。
可以用归纳法证明。
-
\(k=1\)的时候显然成立。
-
假设对于\(k\)成立，则对于\(k+1\)：
- 如果区间内的数，第\(k+1\)位全为1，那么答案的第\(k +1\)位为1。答案和只考虑后\(k\)位一样，结论成立。
- 如果区间内的数，有大于等于2个第\(k+1\)位为0，那么答案的第\(k+1\)为为0。此时我们只需要考虑第\(k+1\)位为0的数，前\(k\)位小的数前面加上0还是小，所以结果还是会在之前选出来的最小值中，结论成立。
- 如果区间内的数，只有1个第\(k+1\)位为0，那么答案的第\(k +1\)位为1。此时，之前的候选可能和这个第\(k+1\)位为0的数产生新的答案，所以将其加入最小值集合，现在是\(k+2\)个最小值，结论依然成立。