动态规划----钢条切割问题

　　动态规划通常用于解决最优化问题，在这类问题中，通过做出一组选择来达到最优解。在做出每个选择的同时，通常会生成与原问题形式相同的子问题。当多于一个选择子集都生成相同的子问题时，动态规划技术通常就会很有效，其关键技术就是对每个这样的子问题都保存其解，当其重复出现时即可避免重复求解。做动态规划的题目新手一般的步骤是普通的递归---->记忆型递归---->dp方程，而熟练了之后才能直接写dp方程。那下面这道题目也会遵循这个步骤来做。

题目：

　　Serling公司购买长钢条，将其切割为短钢条出售。切割工序本身没有成本支出。公司管理层希望知道最佳的切割方案。假定我们知道Serling公司出售一段长为i英寸的钢条的价格为p_i(i=1,2,…，单位为美元)。钢条的长度均为整英寸。

　　　　

　　钢条切割问题是这样的：给定一段长度为n英寸的钢条和一个价格表p_i(i=1,2,…n)，求切割钢条方案，使得销售收益r_n最大。注意，如果长度为n英寸的钢条的价格p_n足够大，最优解可能就是完全不需要切割。

　　递归思路：首先将钢条切割为长度为i和n-i的两段，接着求解这两段的最优切割收益r_i和r_n-i(每种方案的最优收益为两段的最优收益之和)。当完成首次切割后，我们将两段钢条看成两个独立的钢条切割问题实例。通过组合两个相关子问题的最优解，并在所有可能的两段切割方案中选取组合收益最大者，构成原问题的最优解。虽然这不失为一种递归方式，但是这种递归方式重复的子问题太多。我们可以做如下优化，将钢条从左边切割下长度为i的一段，只对右边剩下的长度为n-i的一段继续进行切割，对左边的一段则不再进行切割。这样原问题的最优解只包含一个相关子问题（右端剩余部分）的解，而不是两个。

　　记忆型递归：上述递归的优化思路其实还是存在着重复子问题的求解，于是我们就可以使用记忆型的递归来求解了。

　　而动态规划解法呢，它的本身形式就是两种，记忆型递归和递推形式，而递推形式呢，一般都需要excel表来辅助我们来发现规律，这种方法一般需要恰当定义子问题“规模”的概念，使得任何子问题的求解都只依赖于“更小的”子问题的求解。因此，我们可以将子问题按照规模顺序，由小至大顺序进行求解。当求解某个子问题时，它所依赖的那些更小的子问题都已求解完毕，结果已经保存。每个子问题只需求解一次，当我们求解它时，它的所有前提子问题都已求解完成。

　　　　

　　代码：

import java.util.Arrays;

public class 钢条切割 {
	static int n = 10;
	static int[] p = { 1, 5, 8, 16, 10, 17, 17, 20, 24, 30 };

	static int[] vs = new int[n + 1];

	/**
	 * 记忆型递归
	 * 
	 * @param x 钢条的长度      
	 */
	static int r(int x) {
		if (x == 0) {
			return 0;
		}
		int ans = 0;

		for (int i = 1; i <= x; i++) {
			if (vs[x - i] == -1)
				vs[x - i] = r(x - i); // 计算之前先查询，

			int v = p[i - 1] + vs[x - i];
			ans = Math.max(v, ans);
		}
		vs[x] = ans; // 计算之后做记录
		return ans;
	}

	// 动态规划
	static int dp() {
		vs[0] = 0;
		for (int i = 1; i <= n; i++) {// 拥有的钢条长度
			for (int j = 1; j <= i; j++) {// 保留j为整段
				vs[i] = Math.max(p[j - 1] + vs[i - j], vs[i]);
			}
		}
		return vs[n];
	}

	public static void main(String[] args) {
		Arrays.fill(vs, -1);
		int ans = r(n);
		System.out.println(ans);  // 输出37
		Arrays.fill(vs, 0);

		ans = dp();    
		System.out.println(ans);     // 输出37
	}
}

　　这里总结一下贪心算法和动态规划，贪心只需要保留上一步就能做出下一步，每一步的最优构成全局最优，而动规虽然说也是相当于每一步最优构成全局最优，但是动规则需要保留历史所有的才能计算出下一步，然后在多种可能里面选择出一种最优的，所以说贪心是动规的一种特例。