• 【快速幂】斐波那契数列


    快速幂运算:

      快速幂的目的就是做到快速求幂,假设我们要求a^b,按照朴素算法就是把a连乘b次,这样一来时间复杂度是O(b)也即是O(n)级别,快速幂能做到O(logn),快了好多好多。它的原理如下:

      假设我们要求a^b,那么其实b是可以拆成二进制的,该二进制数第i位的权为2^(i-1),例如当b==11时:

         a11=a(2^0+2^1+2^3)

      11的二进制是1011,11 = 2³×1 + 2²×0 + 2¹×1 + 2º×1,因此,我们将a¹¹转化为算式 a2^0*a2^1*a2^3,也就是a1*a2*a8 ,看出来快的多了吧原来算11次,现在算三次,其中a1  a2  a8的计算方式代码注释里面写着。

      代码:

     1 public class NExponent {
     2 
     3     public static void main(String[] args) {
     4         System.out.println(ex2(2, 3));
     5     }
     6     
     7     public static int ex(int a,int n){
     8         if(n==0)return 1;
     9         if(n==1)return a;
    10         int temp = a; // a的1次方
    11         int res = 1;
    12         int exponent = 1;
    13         while((exponent<<1)<n){
    14             temp = temp * temp;
    15             exponent = exponent << 1;
    16         }
    17         res *= ex(a,n-exponent);
    18         return res * temp;
    19     }
    20     
    21     /**
    22      * 快速幂  O(lgn)
    23      */
    24     public static long ex2(long n,long m){
    25         if(n==0) return 1;
    26         long pingFangShu = n; // n 的 1 次方
    27         long result = 1;
    28         while (m != 0) {
    29             // 遇1累乘现在的幂
    30             if ((m & 1) == 1)
    31                 result *= pingFangShu;
    32             // 每移位一次,幂累乘方一次
    33             pingFangShu = pingFangShu * pingFangShu;
    34             // 右移一位
    35             m >>= 1;
    36         }
    37         return result;
    38     }
    39 }

    题目:矩阵快速幂求解斐波那契数列

      

      代码:

     1 public class Fib {
     2 
     3     public static void main(String[] args) {
     4         for (int i = 1; i < 10; i++) {
     5             System.out.print(fib(i)+" ");
     6         }
     7     }
     8     
     9     // 矩阵运算求解斐波那契数列
    10     static long fib(long n){
    11         if (n == 1 || n == 2) return 1;
    12         long[][] matrix = { 
    13                 { 0, 1 }, 
    14                 { 1, 1 } 
    15                 };
    16         long[][] res = matrixPower(matrix, n - 1);// 乘方
    17         res = matrixMultiply(new long[][] { { 1, 1 } }, res);// 矩阵相乘
    18         return res[0][0];
    19     }
    20     
    21     public static long[][] matrixPower(long[][] matrix, long p) {
    22         // 初始化结果为单位矩阵,对角线为1
    23         long[][] result = new long[matrix.length][matrix[0].length];
    24         // 单位矩阵,相当于整数的1
    25         for (int i = 0; i < result.length; i++) {
    26             result[i][i] = 1;
    27         }
    28 
    29         // 平方数
    30         long[][] pingFang = matrix; // 一次方
    31         while (p != 0) {
    32             if ((p & 1) != 0) { // 当前二进制位最低位为1,将当前平方数乘到结果中
    33                 result = matrixMultiply(result, pingFang);//
    34             }
    35             // 平方数继续上翻
    36             pingFang = matrixMultiply(pingFang, pingFang);
    37             p >>= 1;
    38         }
    39         return result;
    40     }
    41     
    42     /**
    43      * 矩阵乘法 矩阵1为n*m矩阵,矩阵2为m*p矩阵 结果为n*p矩阵
    44      */
    45     public static long[][] matrixMultiply(long[][] m1, long[][] m2) {
    46         final int n = m1.length;
    47         final int m = m1[0].length;
    48         if (m != m2.length)
    49             throw new IllegalArgumentException();
    50         final int p = m2[0].length;
    51 
    52         long[][] result = new long[n][p];// 新矩阵的行数为m1的行数,列数为m2的列数
    53 
    54         for (int i = 0; i < n; i++) {// m1的每一行
    55             for (int j = 0; j < p; j++) {// m2的每一列
    56                 for (int k = 0; k < m; k++) {
    57                     result[i][j] += m1[i][k] * m2[k][j];
    58                 }
    59             }
    60         }
    61         return result;
    62     }
    63 
    64 }

      结果:

        

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