【北京集训测试赛(三)】灯(Light)-奇怪乱搞数学题-素数

Problem 灯

题目大意

n盏灯排成一列，标号一到n，一开始标号为1的灯亮着。

现在依次对于2~n的每一个质数pi，指定一盏亮着的灯ai，点亮所有标号为$A[i]pm kP_i$的灯。

有spj，任意一种方案即可。

输入一个整数n，输出点灯方案。

Solution

首先写个暴力，考虑一下小范围的数据。

我们发现$n<16$的时候没有完美解，都是n-1。再算下去，发现$n>16$的时候任意一组都有完美解。

我们分析一下这个玩意儿。

把一到n的灯集体下标前移1，变成0~n-1。这时候当我们点亮第一盏灯，所有偶数都被点亮了。

接下来我们从前面的打表知道，如果所有灯都在1点亮，那么只有2不会亮。前移了以后就是只有1不会亮。

这时候我们要想一下怎么点亮这个一。

现在若找到两个质数$P_i<P_j$，使得$P_i^2>=n&P_i+P_j<n&P_j=kP_i+1$

一开始绝对已经点亮了pi+1，因为其是偶数。

在pj位置时选择pi+pj标号的即可。

证明：

所有不为$P_i^{A_i}*P_j^{A_j}$的标号一定被点亮过。

因为$P_i^2>n$，所以受影响的标号只有1,pi,pj.

其中，因为$P_j=kP_i+1$

1在pi时被点亮，pi在pj时被点亮，pj在pi时被点亮。

至此，我们搞定了1且没有影响到其它。

这种方法对于n不为26..34时有效，这一些就暴力手算好了，不难。

对于小于16的情况进行特判即可。

AC Code

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int cheat[11][15]={
{0,1,1,4,5,7,7,25,25,25},
{0,1,1,4,5,7,7,25,25,25},
{0,1,1,4,5,7,7,25,25,25},
{0,1,1,4,5,7,7,19,27,29,29},
{0,1,1,7,13,2,1,1,27,3,1},
{0,1,1,1,4,13,1,3,31,31,1,1},
{0,1,1,1,4,13,1,3,31,31,1,1},
{0,1,1,1,4,13,1,3,31,31,1,1},
{0,1,1,1,4,13,1,3,31,31,1,1}
};
int n,p[1000010],tot=0;
bool np[1000010];
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=2;i<=n;i++)
        if(!np[i]){
            p[++tot]=i;np[i]=1;
            if((long long)i*i<=n)
                for(int j=i*i;j<=n;j+=i)np[j]=1;
        }
    printf("%d %d
",tot,(n<=16)?n-1:n);
    if(n<=16)
        for(int i=1;i<=tot;i++)printf("1
");    
    else if(n>=26&&n<=34)
        for(int i=1;i<=tot;i++)printf("%d
",cheat[n-26][i]);
    else{
        int t=1,x=0,y=0;
        while(p[t]*p[t]<n)t++;
        for(int i=t;i<=tot;i++){
            for(int j=i+1;p[i]+p[j]<n;j++)
                if(p[j]%p[i]==1){
                    x=i;y=j;
                    break;
                }  
            if(x||y)break;
        }
        for(int i=1;i<=tot;i++){
            if(i==x)printf("%d
",p[i]+2);
            else if(i==y)printf("%d
",p[i]+p[x]+1);
            else printf("1
");
        }
    }
    return 0;
}