应该是最后一道紫色的概率了....然而颜色啥也代表不了....
首先看懂题意:
你现在有$p$点体力,你的体力上限为$n$
在一轮中,
1.如果你的体力没有满,你有$frac{1}{m + 1}$的几率回复一点体力
2.紧接着有$k$轮攻击,每轮攻击都有$frac{1}{m + 1}$的几率使你掉一点体力
如果一轮后,你的体力$ leq 0$,那么游戏结束
询问游戏结束的期望轮数
看懂题应该就懂了什么吧....
设状态$f[i]$表示生命值为$i$游戏结束的期望轮数
那么
$$f[i] = egin{cases}
& 0;;(i = 0)\
& 1 + sumlimits_{j = 1}^i f[j] * P[i - j];;(i = n)\
& 1 + sumlimits_{j = 1}^i f[j] * (frac{P[i - j + 1]}{m + 1} + frac{m * P[i - j]}{m + 1}) + f[i + 1]*frac{P[0]}{m + 1} ;;(else)
end{cases}$$
其中,$P[i]$表示在一轮攻击中受到$i$点攻击的概率
($f[0]$结束游戏,因此不能向别的状态转移)
考虑怎么求$P[i]$
由于确定了$i$种要攻击,其余的不攻击,那么一种攻击方式的概率为$(frac{1}{m + 1})^i * (frac{m}{m + 1})^{k - i}$
对于攻击$i$次而言,总共有$C(k, i)$种攻击方式
因此$P[i] = C(k, i) *(frac{1}{m + 1})^i * (frac{m}{m + 1})^{k - i} $
直接$O(n^2)$暴力全部求出来...
那么,有了$P[i]$后,高斯消元的复杂度过高
但是,注意到方程中$0$的数量非常的多,因此在消元的时候把$0$项跳过
酱紫,复杂度就到$O($玄学$)$了,仔细优化一下就$O(n^2)$了,具体看代码吧....
注:记得判无解
注2:不知道为什么$P[]$数组莫名的要多预处理一些.....
注(注2):仿佛是$n = 0$的时候挂了.....出题人有猫病啊.....
复杂度$O(Tn^2)$,没怎么卡常
#include <cstdio> using namespace std; extern inline char gc() { static char RR[23456], *S = RR + 23333, *T = RR + 23333; if(S == T) fread(RR, 1, 23333, stdin), S = RR; return *S ++; } inline int read() { int p = 0, w = 1; char c = gc(); while(c > '9' || c < '0') { if(c == '-') w = -1; c = gc(); } while(c >= '0' && c <= '9') p = p * 10 + c - '0', c = gc(); return p * w; } #define sid 1600 #define eid 200050 #define ri register int const int mod = 1000000007; int n, p, m, k; int inv[eid], P[sid], f[sid][sid]; void Init_Inv() { inv[0] = inv[1] = 1; for(ri i = 2; i <= 200000; i ++) inv[i] = 1ll * (mod - mod / i) * inv[mod % i] % mod; for(ri i = 2; i <= 200000; i ++) inv[i] = 1ll * inv[i - 1] * inv[i] % mod; } int fp(int a, int k) { int ret = 1; for( ; k; k >>= 1, a = 1ll * a * a % mod) if(k & 1) ret = 1ll * ret * a % mod; return ret; } void Init_P() { int invm = fp(fp(m + 1, mod - 2), k); for(ri i = 0; i <= n + 5; i ++) { if(i > k) { P[i] = 0; continue; } int C = 1; for(ri j = k - i + 1; j <= k; j ++) C = 1ll * C * j % mod; C = 1ll * C * inv[i] % mod; P[i] = 1ll * C * fp(m, k - i) % mod * invm % mod; } } void Init_Guass() { int m11 = fp(m + 1, mod - 2); int mm1 = 1ll * m * m11 % mod; for(ri i = 1; i <= n + 1; i ++) for(ri j = 1; j <= n + 1; j ++) f[i][j] = 0; for(ri i = 1; i < n; i ++) { f[i][i] = 1; f[i][n + 1] = 1; f[i][i + 1] = (mod - 1ll * P[0] * m11 % mod); for(ri j = 1; j <= i; j ++) { f[i][j] = (f[i][j] - 1ll * m11 * P[i - j + 1] % mod + mod) % mod; f[i][j] = (f[i][j] - 1ll * mm1 * P[i - j] % mod + mod) % mod; } } f[n][n] = 1; f[n][n + 1] = 1; for(ri i = 1; i <= n; i ++) f[n][i] = (f[n][i] - P[n - i] + mod) % mod; } void Guass() { for(ri i = 1; i <= n; i ++) { int inv = fp(f[i][i], mod - 2); for(ri j = i + 1; j <= n; j ++) { int t = 1ll * f[j][i] * inv % mod; for(ri k = i; k <= i + 1; k ++) f[j][k] = (f[j][k] - 1ll * f[i][k] * t % mod + mod) % mod; f[j][n + 1] = (f[j][n + 1] - 1ll * f[i][n + 1] * t % mod + mod) % mod; } } for(ri i = n; i >= 1; i --) { f[i][n + 1] = 1ll * f[i][n + 1] * fp(f[i][i], mod - 2) % mod; f[i - 1][n + 1] = (f[i - 1][n + 1] - 1ll * f[i - 1][i] * f[i][n + 1] % mod + mod) % mod; } } int main() { int Tt = read(); Init_Inv(); while(Tt --) { n = read(); p = read(); m = read(); k = read(); if(k == 0) { printf("-1 "); continue; } if(m == 0 && k == 1) { printf("-1 "); continue; } Init_P(); Init_Guass(); Guass(); int ans = f[p][n + 1]; printf("%d ", ans); } return 0; }