堆

目录

• 一、什么是优先队列
• 二、什么是堆
• 三、堆的抽象数据类型描述
• 四、最大堆的操作
  • 4.1 最大堆的创建
  • 4.2 最大堆的插入
  • 4.3 最大堆的删除
  • 4.4 最大堆的建立
• 五、Python实现堆
  • 5.1 上浮 shift up
  • 5.2 下沉 shift_down
  • 5.3 插入 push
  • 5.4 弹出 pop

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一、什么是优先队列

优先队列（Priority Queue）：特殊的队列，取出元素的顺序是依照元素的优先权（关键字）大小，而不是元素进入队列的先后顺序。

问题是：如何组织优先队列？我们可以通过以下三种方法：

1. 一般的数组、链表
2. 有序的数组或者链表
3. 二叉搜索树？AVL树？

若采用数组或链表实现优先队列，我们可以看看它们在队列操作时的时间复杂度：

• 数组：
  • 插入：元素总是插入尾部——(Theta(1))
  • 删除：查找最大（或最小）关键字——(Theta(n))
    • 从数组中删除时需要移动元素——(O(n))
• 链表：
  • 插入：元素总是插入链表的头部——(Theta(1))
  • 删除：查找最大（或最小）关键字——(Theta(n))
    • 删除结点——(Theta(1))
• 有序数组：
  • 插入：找到合适的位置——(O(n)或O(log_2n))
    • 移动元素并插入——(O(n))
  • 删除：删除最后一个元素——(Theta(1))
• 有序链表：
  • 插入：找到合适的位置——(O(n))
    • 插入元素——(Theta(1))
  • 删除：删除首元素或最后元素——(Theta(1))

从上，我们可以看出，如果使用数组或链表的方式实现优先队列，在插入或者删除中，总会有一个操作方法的时间复杂度为O(n)，因此我们是否可以考虑采用二叉树存储结构。

二、什么是堆

对于优先队列，如果采用二叉树存储结构，我们应该考虑一下两个问题：

1. 是否可以采用二叉搜索树？
2. 如果采用二叉树结构，应该更加关注插入还是删除
   1. 树结点顺序怎么安排？
   2. 树结构怎样？

处于对上述问题的考虑，我们可以使用完全二叉树表示优先队列，如下图所示：

从上图我们可以看出堆的两个特性：

结构性：用数组表示的完全二叉树；

有序性：任一结点的关键字是其子树所有结点的最大值（或最小值）

• 最大堆（MaxHeap），也称大顶堆：最大值
• 最小堆（MinHeap），也称小顶堆：最小值

下图为最大堆图片：

下图为最小堆图片：

从上述两幅图中，我们可以看出：从根节点到任意结点路径上结点序列的有序性！

下图为不是堆的图片：

三、堆的抽象数据类型描述

类型名称：最大堆（MaxHeap）

数据对象集：完全二叉树，每个结点的元素值不小于其子结点的元素值

操作集：最大堆(Hin{MaxHeap})，元素(itemin{ElementType})，主要操作有：

• MaxHeap Create(int MaxSize)：创建一个空的最大堆；
• Boolean IsFull(MaxHeap H)：判断最大堆H是否已满；
• Insert(MaxHeap H, ElementType item)：将元素item插入最大堆H；
• Boolean IsEmpty(MaxHeap H)：判断最大堆H是否为空；
• ElementType DeleteMax(MaxHeap H)：返回H中最大元素（高优先级）。

四、最大堆的操作

4.1 最大堆的创建

/* c语言实现 */

typdef struct HeapStruct *MaxHeap;
struct HeapStruct{
  ElementType *Elements; // 存储堆元素的数组
  int Size; // 堆的当前元素个数
  int Capacity; // 堆的最大容量
}

MaxHeap Create(int MaxSize)
{
  // 创建容量为MaxSize的空的最大堆
  MaxHeap H = malloc(sizeof(struct HeapStruct));
  H->Elements = malloc((MaxSize + 1) * sizeof(ElementType));
  H->Size = 0;
  H->Capacity = MaxSize;
  H->Elements[0] = MaxData; // 定义“哨兵”为大于堆中所有可能元素的值，便于以后更快操作  // 把MaxData换成小于堆中所有元素的MinData，同样适用于创建最小堆
  return H;
}

4.2 最大堆的插入

算法：将新增结点插入到从其父结点到根结点的有序序列中

/* c语言实现 */

void Insert(MaxHeap H, ElementType item)
{
  // 将元素item插入最大堆H，其中H-Elements[0]已经定义为哨兵
  int i;
  if (IsFull(H)) {
    printf("最大堆已满");
    return ;
  }
  i = ++H->Size; // i指向插入后堆中的最后一个元素的位置
  for (; H->Elements[i/2] < item; i /= 2)
    H->Elements[i] = H->Elements[i/2]; // 向下过滤结点
  H->Elements[i] = item; // 将item插入
}

该插入操作的时间复杂度为：T(N) = O(log N)

其中H->Element[0]是哨兵元素，它不小于堆中的最大元素，控制顺环结束，如下图所示：

4.3 最大堆的删除

取出根节点（最大值）元素，同时删除堆的一个结点。

/* c语言实现 */

ElementType DeleteMax(MaxHeap H)
{
  // 从最大堆H中取出键值为最大的元素，并删除一个结点
  int Parent, Child;
  ElementType MaxItem, temp;
  if (IsEmpty(H)){
    printf("最大堆已为空");
    return;
  }
  MaxItem = H->Elements[1]; // 取出根结点最大值
  // 用最大堆中最后一个元素从根结点开始向上过滤下层结点
  temp = H->Elements[H->Size--];
  for (Parent = 1; Parent * 2 <= H->Size; Parent=Child) {
    Child = Parent * 2;
    if ((Child != H->Size) &&
        (H->Elements[Child] < H->Elements[Child+1]))
      Child ++; // Child指向左右子结点的较大者
    if (temp >= H->Elements[Child]) break;
    else // 移动temp元素到下一层
      H->Elements[Parent] = H->Elements[Child];
  }
  H->Elements[Parent] = temp;
  return MaxItem;
}

该删除操作的时间复杂度为：T(N) = O(log N)

4.4 最大堆的建立

建立最大堆：将已经存在的N个元素按最大堆的要求存放在一个一维数组中

方法1：通过插入操作，将N个元素一个个相继插入到一个初始为空的堆中去，其时间代价最大为O(N logN)

方法2：通过下述2个步骤，在线性时间复杂度下建立最大堆

1. 将N个元素按输入顺序存入，先满足完全二叉树的结构特性
2. 调整各结点位置，以满足最大堆的有序特性

最大堆的建立如下图所示：

通过上图的演示，我们可以去测算最大堆建立时的线性复杂度为下图所示：

五、Python实现堆

5.1 上浮 shift up

小根堆中越小的元素应该越在上面。以上图中6号位置元素1为例，它比它的父节点2小，则它应该和2交换位置，此时1在2号位置。这时1还比它的父节点8小，则它和8交换位置，1在0号位置了。此时1的位置是合理的。这个过程就叫上浮。总结一下就是：

从当前结点开始，和它的父亲节点比较，若是比父亲节点小，就交换，然后将当前询问的节点下标更新为原父亲节点下标；否则结束。

5.2 下沉 shift_down

下沉的目的是让大元素沉在堆的下面。还以上图的子树为例，0位置的8的子节点5和2都比它小，最小的是2，则2和8交换位置，8沉到2号位置，此时它的子节点7和1也都比它小，最小的是1，那就和1交换位置，8沉到了6号位置，结束。

总结出下沉操作过程就是让当前结点的左右儿子(如果有的话)作比较，哪个比较小就和它交换，并更新询问节点的下标为被交换的儿子节点下标，否则结束。

5.3 插入 push

在向堆中插入元素时，我们总是将它放在堆的最后的位置，然后将它上浮，这样就能继续维持堆数据的有序性了。

5.4 弹出 pop

弹出操作演出的是堆顶的元素，也就是完全二叉树的根节点。若直接弹出根节点，则原来的一棵完全二叉树就变成两棵完全二叉树，这样对继续维护堆造成困难，此时我们将二叉树中最后位置的元素放到根节点位置，这样又是一棵完全二叉树了，然后将现在的根元素下沉就行。

以上是堆的一些操作的基本原理，但在python中实现堆时，操作过程略有不同。为了节省内存，在执行上浮操作时，不是逐次交换位置，而是拿着要上浮的元素去比较，找到合适的位置。下沉操作也是一样。

# python语言实现

class Heap:
    def __init__(self, elist):
        self._elems = list(elist)
        if elist:
            self.buildheap()

    def is_empty(self):
        return not self._elems

    # 取堆顶元素
    def peek(self):
        if self.is_empty():
            raise ValueError("堆为空")
        return self._elems[0]

    # 上浮
    def siftup(self, e, last):
        elems, i, j = self._elems, last, (last - 1) // 2
        while i > 0 and e < elems[j]:
            elems[i] = elems[j]
            i, j = j, (j - 1) // 2
        elems[i] = e

    # 插入
    def push(self, e):
        self._elems.append(None)
        self.siftup(e, len(self._elems) - 1)

    # 下沉
    def siftdown(self, e, begin, end):
        elems, i, j = self._elems, begin, begin * 2 + 1
        while j < end:
            if j + 1 < end and elems[j + 1] < elems[j]:
                j += 1
            if e < elems[j]:
                break
            elems[i] = elems[j]
            i = j
            j = 2 * j + 1
        elems[i] = e

    # 弹出
    def pop(self):
        if self.is_empty():
            raise ValueError("堆为空")
        elems = self._elems
        e0 = elems[0]
        e = elems.pop()
        if len(elems) > 0:
            self.siftdown(e, 0, len(elems))
        return e0

    # 从数组构建堆
    def buildheap(self):
        end = len(self._elems)
        for i in range(end // 2 - 1, -1, -1):
            self.siftdown(self._elems[i], i, end)