概率统计：数学期望、方差、协方差、相关系数、矩

1：数学期望

数学期望是随机变量的重要特征之一,随机变量X的数学期望记为E(X),E(X)是X的算术平均的近似值,数学期望表示了X的平均值大小。

• 当X为离散型随机变量时,并且其分布律为 P(X=x_k) ＝ pk   ,其中k=1,2,…,n；则数学期望（要求绝对收敛）.
• 当X为连续型随机变量时,设其概率密度为f(x),则数学期望为（要求绝对收敛）.

2:  方差

数学期望给出了随机变量的平均大小,现实生活中我们还经常关心随机变量的取值在均值周围的散布程度,而方差就是这样的一个数字特征。

设X是随机变量,并且E{[X-E(X)²]}存在,则称它为X的方差,记为D(X)。

• 当X为离散型时,D(x) = .
• 当X为连续型时,D(x) = .

方差的算术平方根为X的标准差。

另外,D(X) = E{[X-E(X)²]} 经过化解可得 D(X) = E(X²) – [E(X)]²  .我们一般计算的时候常用这个式子。

3： 协方差

对于二维的随机变量(X,Y)，我们还要讨论它们的相互关系,协方差就是一个这样的数字特征。

因为E{[X-E(X)][Y-E[Y]]} = E(XY) – E(X)E(Y).

又当X,Y相互独立的时候E(XY) = E(X)E(Y).这意味着若E{[X-E(X)][Y-E[Y]]} ≠ 0 ,则X与Y是存在一定关系的。

我们把E{[X-E(X)][Y-E[Y]]} 称为随机变量X与Y的协方差。记为Cov(X,Y).

即：Cov(X,Y) = E{[X-E(X)][Y-E[Y]]}

4：相关系数

协方差在某种意义上是表示了两个随机变量间的关系,但是Cov(X,Y)的取值大小与X,Y的量纲有关,不方便分析,所以为了避免这一点,我们用X,Y的标准化随机变量来讨论。

我们称为随机变量X与Y的相关系数,记为(无量纲)。

其中为X,Y的协方差即Cov(X,Y),D(X),D(Y)分别是X,Y的方差且D(X)>0，D(Y)>0。

关于相关系数，我们有下面的性质：

• || ≤ 1
• || = 1 的充要条件是X 与 Y 以概率 1 存在线性关系，即 P{Y = a +bX} = 1, a,b是常数。
• 若 = 0,则说明X,Y不相关并且X与Y不存在线性关系。
• 若随机变量X,Y相互独立，则 = 0，即X,Y不相关。

注意：两个不相关的随机变量，不一定相互独立,有一特殊情况是,当随机变量X,Y服从二维正态分布的时候,独立与不相关等价。

• 不相关只能说明X与Y不存在线性关系。
• 独立说明X与Y既不存在线性关系,也不存在非线性关系。

5：矩

矩(moment)是最广泛的一种数字特征,常用的矩有两种：原点矩和中心矩。

原点矩：

对于正整数k，称随机变量X的k次幂的数学期望为X的k阶原点矩：即  E(X^k) ,k=1,2,…n.

数学期望就是一阶原点矩。

中心矩：

对于正整数k，称随机变量X与E（X）差的k次幂的数学期望为X的k阶中心矩：即 E{X-E[X^K]},K=1,2,…n.

方差就是二阶中心矩。