LeetCode: Edit Distance && 子序列题集

Title:

Given two words word1 and word2, find the minimum number of steps required to convert word1 to word2. (each operation is counted as 1 step.)

You have the following 3 operations permitted on a word:

a) Insert a character
b) Delete a character
c) Replace a character

这题仍可以使用动态规划，问题是，如何得到转移方程。

if a[i] == b[j] then d[i,j] = d[i-1,j-1] 

但是不相等的情况下如何计算呢

题目给出了三种可能方式，结果就是根据这三种方式进行

if a[i] != b[j] then min(

a[i-1,j]//相当于删除a[i-1]

a[i,j-1]//相当于插入a的末尾，插入的为b的末尾，这样a，b的末尾相等，所以，要同时减1

a[i-1,j-1]//相当于替换

)

https://blog.csdn.net/zxzxzx0119/article/details/82054807

int minDistance(string word1,string word2){
        int m = word1.size();
        int n = word2.size();
        vector<vector<int> > result(m+1,vector<int>(n+1));
        for (int i = 0 ; i <= m ; i++)
            result[i][0] = i;
        for (int j = 0 ; j <= n ; j++)
            result[0][j] = j;
        for (int i = 0; i < m; i++){
            for (int j = 0 ; j < n ; j++){
                if (word1[i] == word2[j])
                    result[i+1][j+1] = result[i][j];
                else
                    result[i+1][j+1] = min(result[i][j+1],min(result[i+1][j],result[i][j]) )+1;

            }
        }
        return result[m][n];
    }

其他相关问题：

（1）

最长公共字串（连续）

string a= "abcdef";

string b = "abdef";

可以使用动态规划来解决，使用一个二维数组，状态d[i,j]表示到a[i]和b[j]的最长公共字串，这样问题就是要找出状态转移方程。

如果a[i] = b[j] 那么，d[i,j] = d[i-1,j-1]+1

如果a[i] != b[j] 那么 ，d[i,j] = 0

最后再遍历一下数组，来找出最大的字串。

优化，首先，遍历找出最大字串这一步可以放到计算过程中。

string LCS(string s1, string s2){
        int len1 = s1.length();
        int len2 = s2.length();
        int maxLength = 0;
        int index = 0;
        int table[1005][1005];
        for (int i = 1 ; i < len1+1 ; i++)
            table[i][0] = 0;
        for (int i = 1 ; i < len2+1 ; i++)
            table[0][i] = 0;
        for (int i = 1 ; i <= len1 ; i++){
            for (int j = 1 ; j <= len2 ; j++){
                if (s1[i-1] == s2[j-1]){
                    table[i][j] = table[i-1][j-1] + 1;
                }else{
                    table[i][j] = 0;
                    //table[i][j] = (table[i-1][j] > table[i][j-1]) ? table[i-1][j] : table[i][j-1];
                }
                if (table[i][j] > maxLength ){
                    maxLength = table[i][j];
                    index = i;
                }

            }
        }
        return s1.substr(index-maxLength,maxLength);
}

例外，一般的动态规划的计算空间都可以降低。将二维空间降至一维空间。

降维对于j一般是正序和逆序，关键是看，如果在计算过程中j-1会被提前计算，则要以相反的顺序进行。比如上面，状态转移是

table[i][j] = table[i-1][j-1] + 1;

如果j是从0 到 len2进行，那么table[j-1]就会被先计算，可是从状态转移我们知道，应该在计算table[j]时，这一行的table[j-1]仍是上一行的，所以应该倒过来进行。

string LCS_continue(string s1,string s2){
    int len1 = s1.size();
    int len2 = s2.size();
    vector<int> result(len2+1);
    int longest = 0;
    int index = 0;
    for (int i = 0 ; i < len2+1; i++)
        result[i] = 0;
    for (int i = 0 ; i < len1; i++){
        for (int j = len2-1 ; j >=0; j--){
            if (s1[i] == s2[j]){
                cout<<i<<" "<<j<<endl;
                result[j+1] = result[j]+1;
            }else{
                result[j+1] = 0;
            }
            if (result[j+1] > longest){
                longest = result[j+1];
                index = j+1;
            }
        }
    }
    return s2.substr(index-longest,longest);
}

（2）公共最长子序列（非连续）

非连续的状态转移也很容易得到。

d[i,j] = d[i-1,j-1]+1 (a[i] == b[j])

d[i,j] = max(d[i-1,j],d[i,j-1]) (a[i] != b[j])

同样，在降维的时候，j仍是要逆序进行。

int LCS_not_continue(string s1,string s2){
    int len1 = s1.size();
    int len2 = s2.size();
    vector<int> result(len2+1);
    for (int i = 0 ; i < len2+1; i++)
        result[i] = 0;
    for (int i = 0 ; i < len1; i++){
        for(int j = len2-1 ; j >= 0; j--){
            if (s1[i] == s2[j]){
                result[j+1] = result[j]+1;
            }else{
                result[j+1] = max(result[j],result[j+1]);
            }
        }
    }
    return result[len2];
}

 （3）最长上升子序列

对于一个序列如1，-1，2，-3，4，-5，6，-7，其最长第增子序列为1,2,4,6

定义递推关系：

dp[i]: 以a_i 为末尾的最长上升子序列的长度

dp[i] = max(1,dp[j]+1) (j < i && a[j] < a[i])

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

class Solution{
public:
    int LIS(vector<int> nums){
        vector<int> v(nums.size()+1,1);
        v[0] = 0;
        int result = INT_MIN;
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++){
            for (int j = 0; j < i; j++){
                if (nums[j] < nums[i])
                    v[i+1] = max(v[i+1],v[j+1]+1);
            }
            /*for (int j = 0; j < i+1; j++){
                if (j-1 >= 0 && nums[j-1] < nums[i])
                    v[i+1] = max(v[i+1],v[j]+1);
            }*/
            result = max(result,v[i+1]);
        }
        return result;
    }
};
int main(){
    int a[] = {4,2,3,1,5};
    int size = sizeof(a)/sizeof(int);
    vector<int> nums(a,a+size);
    Solution solution;
    cout<<solution.LIS(nums);
    system("pause");
}