D. Kay and Snowflake 树的重心

http://codeforces.com/contest/686/problem/D

给出q个询问，每次要求询问以x为根的子树中，哪一个点是重心。

树的重心：求以cur为根的子树的重心，就是要找一个点，使得删除这个点后，分开来的零散的子树中，节点数的最大值最小。并且最大值最多也只是son[cur] / 2，因为最坏情况（最难分）也就是一条直线，选中间点就可以了。

例如

询问1的时候，就应该删除3，然后得到4个零散分支，2个大小是1,2个是2。

算法思路：

直观来说，应该是删除那个儿子数最多的那个节点的。 比如上图，3的儿子数最多，所以询问1就删除3了。因为，没理由再分一些节点给最大的那颗子树把，这样只会更坏。

但是却可以把最大的那颗子树分一些节点去另一边，所以优先删除最大的那颗子树的重心，然后判断是否符合要求，不符合就只能暴力往上找了。

判定条件是son[cur] > 2 * son[重心]就不行。

因为这表明son[cur] - son[重心]的值还大于son[cur] / 2

代进去就知道了son[cur] - son[重心] > son[重心]，

假设son[cur] = 2 * son[重心]。那么就是剩下的节点数会大于son[cur] / 2咯。。

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#define IOS ios::sync_with_stdio(false)
using namespace std;
#define inf (0x3f3f3f3f)
typedef long long int LL;

#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <string>
const int maxn = 300000 + 20;
int ans[maxn];
int son[maxn]; //第u个点有多少个儿子。
int fa[maxn]; //记录第i个点的爸爸是谁
struct node {
    int u, v, tonext;
}e[maxn];
int first[maxn];

int num;
void add(int u, int v) {
    ++num;
    e[num].u = u;
    e[num].v = v;
    e[num].tonext = first[u];
    first[u] = num;
}
void dfs(int cur, int from) {
    son[cur] = 1; //自己一个
    ans[cur] = cur; //叶子节点
    int mx = -inf, pos = cur; //以这个点为子树的儿子数最多的那个pos
    for (int i = first[cur]; i; i = e[i].tonext) {
        dfs(e[i].v, cur);
        son[cur] += son[e[i].v]; //加上儿子的节点个数
        if (mx < son[e[i].v]) { //不能算自己，只能算儿子的max
            mx = son[e[i].v];
            pos = e[i].v;  //儿子数最多的那个节点，
        }
    }
    ans[cur] = ans[pos]; //ans[pos]已经算出来了，ans[pos]的重心
    while (son[cur] > 2 * son[ans[cur]]) {
        ans[cur] = fa[ans[cur]]; //暴力往上找
    }
}
void work() {
    int n;
    cin >> n;
    int q;
    cin >> q;
    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        int x;
        cin >> x;
        add(x, i);
        fa[i] = x;
    }
    dfs(1, -1);
    for (int i = 1; i <= q; ++i) {
        int x;
        cin >> x;
        cout << ans[x] << endl;
    }
}

int main() {
#ifdef local
    freopen("data.txt","r",stdin);
#endif
    IOS;
    work();
    return 0;
}

重心的定义是：

找到一个点,其所有的子树中最大的子树节点数最少,那么这个点就是这棵树的重心,删去重心后，生成的多棵树尽可能平衡

(一)
树中所有点到某个点的距离和中，到重心的距离和是最小的；如果有两个重心，那么他们的距离和一样。

(二)
把两个树通过一条边相连得到一个新的树，那么新的树的重心在连接原来两个树的重心的路径上。

(三)

把一个树添加或删除一个叶子，那么它的重心最多只移动一条边的距离。