零钱兑换2（Python and C++做法）

题目：

给定不同面额的硬币和一个总金额。写出函数来计算可以凑成总金额的硬币组合数。假设每一种面额的硬币有无限个。 

示例 1:

输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5]
输出: 4
解释: 有四种方式可以凑成总金额:
5=5
5=2+2+1
5=2+1+1+1
5=1+1+1+1+1
示例 2:

输入: amount = 3, coins = [2]
输出: 0
解释: 只用面额2的硬币不能凑成总金额3。
示例 3:

输入: amount = 10, coins = [10]
输出: 1

注意:

0 <= amount (总金额) <= 5000
1 <= coin (硬币面额) <= 5000
硬币种类不超过 500 种

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/coin-change-2

思路：

　　采用动态规划方法。

　　由于涉及到目标金额数和所使用硬币两个变量，所以状态数组是二维的。

　　定义状态dp[i][j]：若想拼凑出目标金额i，当只使用coins中的前j个硬币时，一共有dp[i][j]种拼凑方法

　　状态转移：A.如果当前目标金额可以用硬币拼凑,则当前拼凑方法数=使用编号为j-1的硬币拼凑方法数+不使用该硬币的拼凑方法数；

　　　　　　　B.如果当前目标金额不可以用硬币拼凑，则目标金额不变，此时的拼凑方法数和之前的一样

Python解法：

class Solution:
    def change(self, amount: int, coins: List[int]) -> int:
      nCoins = len(coins)
      """==============================================================
      如果创建二维列表时，采用一个列表与‘*’结合创建的方法，则当进行列表操作时，
      由于是浅拷贝，列表内部内存指向同一块，会导致问题。
      =============================================================="""
      # 定义状态dp[i][j]:若想拼凑出目标金额i，当只使用coins中的前j个硬币时，一共有dp[i][j]种拼凑方法
      dp = [[0 for _ in range(nCoins+1)] for __ in range(amount+1)]
      for coin in range(nCoins+1):
        dp[0][coin] = 1  # 基础条件：使用不同面额的硬币拼凑目标金额为0的方法只有1种

      for i in range(1, amount+1):
        for j in range(1, nCoins+1):
          if i - coins[j-1] >= 0:  # 状态转移1：如果当前目标金额可以用硬币拼凑
            dp[i][j] = dp[i-coins[j-1]][j] + dp[i][j-1]  # 当前拼凑方法数=使用编号为j-1的硬币拼凑方法数+不使用该硬币的拼凑方法数
          else:  # 状态转移2：如果当前目标金额不可以用硬币拼凑
            dp[i][j] = dp[i][j-1]  # 目标金额不变，此时的拼凑方法和之前的一样
      return dp[amount][nCoins]

C++解法：

class Solution {
public:
    int change(int amount, vector<int>& coins) {
      int n = coins.size();
      // 定义状态dp[i][j]:若想拼凑出目标金额i，当只使用coins中的前j个硬币时，一共有dp[i][j]种拼凑方法
      vector<vector<int>> dp(amount+1, vector<int>(n+1));  // 申请大小为(amount+1)*(n+1)的动态二维数组
      for(int j = 0; j <= n; j++)
        dp[0][j] = 1;  // 基础条件：使用不同面额的硬币拼凑目标金额为0的方法只有1种
      
      for(int i = 1; i <= amount; i++) {
        for(int j = 1; j <= n; j++) {
          if(i - coins[j-1] >= 0)  // 状态转移1：如果当前目标金额可以用硬币拼凑
            dp[i][j] = dp[i - coins[j-1]][j] + dp[i][j-1];  // 当前拼凑方法数=使用编号为j-1的硬币拼凑方法数+不使用该硬币的拼凑方法数
          else  // 状态转移2：如果当前目标金额不可以用硬币拼凑
            dp[i][j] = dp[i][j-1];  // 目标金额不变，此时的拼凑方法和之前的一样
        }
      }
      return dp[amount][n];
    }
};