Manacher算法学习笔记

Manacher：一种能在(O(n))的时间内求解一个字符串中最长回文串长度的算法

不过洛咕例题是真的少，加上模板也只有三道

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问题：

给定一个字符串，求解其回文子串中最长的一个的长度。

几种暴力：

• (O(n ^ 3))

依次枚举它的每一个子串，然后复制翻转一位一位进行判断（一看就很慢。抬走。）

• (O(n ^ 2))

  枚举对称轴并向两端扩展直到扩展到的两端点不相同，同时进行计数。
  咦好像优秀一点了？然而还是慢
  对于这个算法，我们分析它有主要的两个缺点：

  • 要判断奇偶
    比如"aabaa"的对称轴在"b"上，而"aabbaa"的对称轴在两个"b"之间的缝里导致游戏体验极差
  • 进行多次重复计算
    不难发现，在计算第(i + 1) 位时，我们左右扩展的范围大部分在计算第(i)位的时候都被判断过了一次，因此冗杂的计算耗去大量时间。

因此，Manacher算法是在第二种暴力的基础上进行了一定的优化和状态记录，实现用先前的状态更新当前状态，并在此基础上进行扩展的操作。

Manacher算法

Manacher算法依次遍历字符串中每一位，记当前遍历到(i)，记录以(i)为对称中心的回文串最大半径为(R[i])（包含(i)自己）。在此之外，我们记录当前我们处理过的节点里，回文半径最大的对称中心为(mid)，其扩展到的最右端节点为(Max\_right)。容易得到(i)必定在(mid)右侧，则我们按照(i)和(Max\_right)的位置关系分情况进行转移：

• (i)在(Max\_right)左侧：

  设(i)关于(mid)的对称点为(j)，不难得到(j = (mid << 1) - i) （自己算一下）
  

  • 当(j)为对称中心的回文串在左端点范围内时，(R[i])可以先直接被(R[j])更新，然后再在此基础上左右扩展。
  • 当(j)为对称中心的回文串覆盖并超过了左端点时，由于在当前最长回文串（图中两红色块之间）内才有关于(mid)左右对称的性质，无法判断(Max\_right)右侧是否与对应左端点左侧仍然回文，此时将(R[i])更新为(Max\_right - i + 1)，然后在此基础上左右扩展。

• (i)在(Max\_right)右侧：

  无法利用先前扩展过的(R)数组更新(R[i])，直接暴力扩展更新(R[i])。

最后(Max of R[i])就是当前字符串中最大的回文半径，则(ans = (Max\_R[i] / 2) * 2 - 1 = Max\_R[i] - 1)。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define N (11000000 + 10)
using namespace std;
int mid, max_right, R[2 * N], ans = -1, len;
char s1[N], s2[2 * N];
void pre() {
	s2[0] = s2[1] = '#';
	len = strlen(s1 + 1);
	for (register int i = 1; i <= len; i++) s2[i * 2] = s1[i];
	s2[2 * len + 1] = '#';
}
void extend(int p, int i) {
	int pos = i;
	while (s2[p - pos + 1] == s2[p + pos - 1]) ++pos;
	pos--; 
	R[p] = pos;
	if (max_right <= p + pos - 1) max_right = p + pos - 1, mid = p;
}
void manacher() {
	R[1] = 1, mid = 1, max_right = 1;
	for (register int i = 1; i <= 2 * len + 1; i++) {
		R[i] = 1;
		if (i <= max_right) {
			int j = (mid << 1) - i;
			if (R[j] <= mid - j + 1) {
				R[i] = R[j];
				extend(i, R[i]);
				ans = max(ans, R[i]);
			} else {
				R[i] = max_right - i + 1;
				extend(i, R[i]);
				ans = max(ans, R[i]);
			}
		} else {
				extend(i, R[i]);
				ans = max(ans, R[i]);      
		}
	}
}
int main() {
	scanf("%s", s1 + 1);
	pre();
	manacher();
	printf("%d", ans - 1);
}