虚树入门
标签： 虚树
概念
在处理某些问题时，不需要用到整棵树的信息，只需要某些点时，我们可以新建一棵虚树来放这些点与某些关键点。通常来说，构建的虚树中有这些点和这些点的lca。假如我们要将k个点与其lca构成一棵虚树，那么所需要的时间复杂度为O(klogk)。
顺便提一下，这k个点和其所有的lca的点的个数和是小于2×k-1的，至于为什么的话，可以看构树的过程，每加入一个点最多只会多一个点。
构建过程
我们先对原树dfs一遍，得到原树的dfs序。
然后我们把需要加入的点按照dfs序排序，这有什么好处呢，下文会提到。
我们还需要维护一个栈，这个栈中存的是最后一个新加入的点的dfs链。（在这条链上，dfs序是递增的）
现在新插入一个点v，假如栈顶的元素为u，现在有两种情况：
- lca(u,v)==u：
- 我们就可以直接把v插入栈中，继续维护这条链；
- lca(u,v)!=u：
- 首先lca(u,v)不可能等于v吧。（因为我们是按照dfs序依次加入的，这点很重要！）
- 其次，再也没有新的点会插入在u的子树内了（因为我们是按照dfs序依次加入的，这点很重要！）。
- 所以这一条链已经没有多大维护的价值了，我们把这一条链加入到虚树中，具体怎么做呢？
- 假如栈顶为p，栈中的第二个元素为q。
- 当dfn[q]>dfn[Lca]这时q还在Lca子树内，q->p连边，弹出栈顶。
- 当dfn[q]==dfn[Lca]这时q为Lca,q->p连边。
- 当dfn[q]< dfn[Lca]这时元素q还有维护的价值（可以q->Lca->v构成一个新的链），Lca->p连边，弹出栈顶，Lca加入栈。
- 最后插入v。
等点全部加完后，记得把栈中的所有点加到虚树里去。（这是初学者容易犯的错误）
这样一棵虚树就建好了。
推荐几道模板题：
[Sdoi 2011]消耗战
[Heio 2014]大工程