CH5105 Cookies饼干(线性DP)

题意理解

圣诞老人共有(M)个饼干，准备全部分给(N)个孩子。

每个孩子有一个贪婪度，第 i 个孩子的贪婪度为 (g[i])。

如果有 (a[i]) 个孩子拿到的饼干数比第 (i) 个孩子多，那么第 (i) 个孩子会产生 (g[i] imes a[i])的怨气。

给定(N、M)和序列(g)，圣诞老人请你帮他安排一种分配方式，使得每个孩子至少分到一块饼干，并且所有孩子的怨气总和最小。

输入格式

第一行包含两个整数N,M。

第二行包含N个整数表示(g_1)~(g_N)。

输出格式

第一行一个整数表示最小怨气总和。

第二行N个空格隔开的整数表示每个孩子分到的饼干数，若有多种方案，输出任意一种均可。

数据范围

[1 le N le 30, \\ N le M le 5000, \\ 1 le g_i le 10^7 \\ ]

输入样例：

3 20
1 2 3

输出样例：

2
2 9 9

解题报告

题意理解

(M)个饼干,分给(N)个孩子,每一个孩子有一个贪婪度(g[i]),和嫉妒值(a[i]),如果有(a[i])个孩子的饼干数比(i)多,那么就会产生怨气(g[i] imes a[i])

要求怨气最少.

思路解析

状态初步

已经获得饼干的孩子个数,和已经发放的饼干,应该是我们的动态规划阶段.

但是我们发现,一个孩子产生的怨气,必然和其他孩子得到的饼干数有关.

[s[i]= egin{cases} mathcal a[i] imes g[i] quad a[i]>0\\ mathcal 0 quad a[i]=0 \\ end{cases} \\ s[i]表示为第i个孩子他产生的怨气 ]

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贪心优化

我们发现动态规划的状态设计,想出来不是很难.

但即使我们发现知道了这个状态设计,我们却无法推出动态规划转移方程.

孩子们的怨气产生是根据情况变化的,我们永远猜测不出来.妹子的心就是这样的

我们不得不想点办法?

其实我们发现,那些贪婪度度大的孩子,应该获得到更多的饼干.

所以说,我们按照贪婪度从小到大排序,然后每个孩子获得的饼干数应该也按照贪婪度从大到小排序.

越贪婪的人,得到的饼干越多.越漂亮的妹子,追求者越多

所以说饼干个数,是单调递减的.

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转移方程

我们可以设置一下状态的具体表示.

[f[i][j]表示为前i个孩子,一共分配了j个饼干的最小怨气和. ]

那么状态转移一下.

[a[i+1]= egin{cases} mathcal a[i+1]=i quad cnt[i+1]<cnt[i] quad 前i个孩子饼干都比他多,饼干数是单调递减的\\ mathcal a[i+1] quad cnt[i+1]=cnt[i] quad 难以确定,不知道前面有多少个孩子饼干比他多\\ end{cases} \\ cnt[i]表示第i个孩子得到的饼干数 ]

当前问题就是,让我们去处理未知情况,也就是前面到底有多少个孩子饼干比它多.

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等价变换

1. 假如说我们当前第(i)个孩子,手中的饼干数大于(1)的话.

根据饼干数是单调递减可以得出,

[我们前i个孩子手中的饼干都是 ge 1 \\ 因为第i个孩子得到的饼干个数是最少的 \\ 一个数列中最小值大于1,那么必然其他值都会大于1. \\ ]

分配(j)个饼干给前(i)个孩子,其实等价于分给(j-i)个饼干给前(i)个孩子.

相当于每一个孩子都少拿一个.

之所以(a[i])没有改变,是因为所有的孩子们,比他们饼干数量多的孩子个数没有改变,相对的逻辑关系木有变化.

2. 假如说第i个孩子只有1个饼干

我们只能选择枚举有多少个孩子只有一个饼干了,肯定不会很多.

[f[i][j]=min egin{cases} mathcal f[i][j-i] \\ mathcal min_{0 le k < i}{F[k,j-(i-k)]+k*sum_{p=k+1}^{i}{g[p]}} \\ end{cases} \\ ]

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代码解析

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define fir(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define int long long
const int N=110;
const int M=5100;
int n,m,i,j,k,f[N][M],s[N],g[N],a[N][M],b[N][M],ans[M],c[N];
int cmp(int a,int b)
{
    return g[a]>g[b];
}
void print(int n, int m)
{
	if (n==0) 
	    return;
	print(a[n][m],b[n][m]);
	if (a[n][m] == n)
	{
		fir(i,1,n) 
		    ans[c[i]]++;
	}
	else
		fir(i,a[n][m]+1,n)
		    ans[c[i]] = 1;
}
signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>n>>m;
    fir(i,1,n)
        cin>>g[i],c[i]=i;
    sort(c+1,c+1+n,cmp);
    memset(f,0x3f,sizeof(f));
    f[0][0]=0;
    fir(i,1,n)
	{
		s[i]=s[i-1]+g[c[i]];
		fir(j,i,m)
		{
			f[i][j]=f[i][j-i];
			a[i][j]=i;
			b[i][j]=j-i;
			fir(k,0,i-1)
			{
				if (f[i][j]>f[k][j-(i-k)]+(s[i]-s[k+1-1])*k)
				{
					f[i][j]=f[k][j-(i-k)]+(s[i]-s[k+1-1])*k;
					a[i][j]=k;
					b[i][j]=j-(i-k);
				}
			}
		}
	}
	cout<<f[n][m]<<endl;
    print(n,m);
	fir(i,1,n)
	    cout<<ans[i]<<' ';
	cout<<endl;
    return 0;
}