一元二次方程易错点

一元二次方程易错点

概述

中考的一元二次方程在数学层面上很简单，但由于其范围的限定，有许多的易错点。

易错点

1. 判定

要求：①一个未知数②最高二次③整式方程（整式方程看化简后的次数，分式或根式看化简前的次数）

根据方程次数求参数值
关于(x)的方程(displaystyle (m+1)x^{m^2+1}+(m-3)x-1=0)是一元一次方程，则【(m=)  (0或-1)  】

对于不定次项，要考虑不存在（系数为0）和1次或0次的情况

2. 解方程

注意

1. 千万不能写方程无解，
2. 二次方程只可能无实根方程的两个解必须写在一行（换行的“，”不能表示或的关系）

直接开平方法

((3x-5)^2=a)
当(a<0)时，方程无实根
当(a=0)时，(3x-5=0)（一定要单独考虑0的情况，算出来的结果和开方的不同）
(displaystyle x_1=x_2=frac{5}{3})（化成一次方程依然有两个解）
当(a>0)时，…………

配方法

配方说明( eq0)
先证明一定(>0)或(<0)，再另起一行说( eq0)

公式法

求根公式
当(b^2-4acgeq0)时，(displaystyle x=frac{-b pmsqrt{b^2-4ac}}{2})

当(b^2-4ac<0)时，方程无实根

整体法

已知(x^2+xy-y^2=0)，求(displaystyle frac{x}{y}(y eq0))

将(displaystyle frac{x}{y})看作整体
(displaystyle frac{x^2}{y^2}+frac{x}{y}-1=0)
(displaystyle frac{x}{y}=frac{-1pmsqrt{5}}{2})

将(y)看作参数暴算
(displaystyle x=frac{-ypmsqrt{5}y}{2})
(displaystyle ∴frac{x}{y}=frac{-1+sqrt{5}}{2})

使用整体法（但题目没有限制定义域）之后，要代回检验

已知(displaystyle x^2+frac{1}{x^2}+x+frac{1}{x}=0)，求(displaystyle x+frac{1}{x})的值

(displaystyle (x+frac{1}{x})^2+(x+frac{1}{x})-2=0)
(displaystyle x+frac{1}{x}=……=frac{-1pm3}{2})
当(displaystyle x+frac{1}{x}=-2)时，……
(x_1=x_2=-1)
当(displaystyle x+frac{1}{x}=1)时，……
(b^2-4ac=(-1)^2-4<0)无实根，舍去
综上，……(x^2-|x|-2=0)
(|x|^2-|x|-2=0)
((|x|-2)(|x|+1)=0)(|x|取2)
(x_1=2,x_2=-2)

讨论根的情况

一定要考虑(a=0)的情况，分类讨论

韦达定理

内容

对(ax^2+bx+c=0(a eq0))，在(b^2-4acgeq0)时，有(displaystyle x_1+x_2=-frac{b}{a} , x_1x_2=frac{c}{a})

当方程中有字母系数时，要判根，全是数字系数就不用

已知关于(x)的方程(x^{2}+(2 k-1) x+k^{2}-1=0)的两根的平方和为(9)，求(k)的值

①

[b^2-4ac=(2k-1)^2-4(k^2-1)=-4k+5geq 0 ]

[kleqfrac{5}{4} ]

②

[x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2 ]

[=(2k-1)^2-2(k^2-1) ]

[=4k^2-4k+1-2k^2+2 ]

[=2k^2-4k+3=9 ]

[2k^2-4k-6=0 ]

[(k+1)(k-3)=0 ]

[k_1=-1,k_2=3>frac54( ext{舍}) ]

“是根”（××是××的根）

代入法

整体法

用大除法把已知代数式给除掉（然后替换成常量( imes)另一个代数式）将含有字母的部分因式分解，转化为已知式的积或含有为0的式子的积（有一定的思维难度）

韦达定理

前提：齐次（不齐次要先降次）

可以通过代入原方程的部分，使方程的部分项降次，从而形成其次的状态，然后因式分解+韦达定理即可

应用

根据题干列方程

所有数字都从题干中来注意实际情况，一定要代回，注意题干的隐含条件（“最简二次根式”，一定要检验最简）

销售问题

计算量很大，有一定的难度注意题干中说明的目的“为了尽快减少库存”“为了使客户得到实惠”

南京的学生计算能力较差，于是口头规定所有大数据方程可以十字相乘，千万不要做无锡的计算题，他们有计算器。