2017.8.1 Noip2018模拟测试赛（十七）

日期：	八月第一天	总分：	300分
难度：	提高 ~ 省选	得分：	100分（不应该啊！）

题目目录：

T1：战争调度

T2：选数

T3：由乃的OJ

赛后心得：

MMP，首先第一题花了大概一半的时间，碰巧想到了正解。

好吧，作为数学渣的我看到T2肯定是懵的啦！T3又那么难，导致我后半场比赛都在发呆……

看来我要恶补数学了！！……

题解：

T1：战争调度

树形dp，暴力枚举每个点的染色情况，发$f[i][j]$表示$i$的子树中，有$j$个黑点，所产生的最大贡献。

时间复杂度 $O(2^{2n+1})$

CODE：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;

int n,m,ans=0,f[2005][2005],v[2005][2005][2];
bool p[20];

void dfs(int x,int d){
    memset(f[x],0,sizeof(f[x]));
    if(d==1){
        for(int j=1;j<=n-1;j++){
            if(p[j+1])f[x][1]+=v[x][j][1];
            else f[x][0]+=v[x][j][0];
        }
        return;
    }
    p[d]=true,dfs(x<<1,d-1),dfs(x<<1|1,d-1);
    for(int i=0;i<(1<<d-1);i++){
        for(int j=0;j<(1<<d-1);j++)
            f[x][i+j]=max(f[x][i+j],f[x<<1][i]+f[x<<1|1][j]);
    }
    p[d]=false,dfs(x<<1,d-1),dfs(x<<1|1,d-1);
    for(int i=0;i<(1<<d-1);i++){
        for(int j=0;j<(1<<d-1);j++)
            f[x][i+j]=max(f[x][i+j],f[x<<1][i]+f[x<<1|1][j]);
    }
}

int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=(1<<n-1);i<(1<<n);i++){
        for(int j=1;j<=n-1;j++)
            scanf("%d",v[i][j]+1);
    }
    for(int i=(1<<n-1);i<(1<<n);i++){
        for(int j=1;j<=n-1;j++)
            scanf("%d",v[i][j]+0);
    }
    dfs(1,n);
    for(int i=0;i<=m;i++)ans=max(ans,f[1][i]);
    printf("%d",ans);
}

T2：选数

推公式应该不算太难，只不过这题要用杜教筛。

egin{aligned}
ans&=sum^H_{x_i=L}[gcd(x_i)=K]\
&=sum^h_{x_i=l}[gcd(x_i)=1] &(l=lfloorfrac{L-1}{K} floor,h=lfloorfrac{H}{K} floor)\
&=sum^h_{x_i=l}sum_{dmid gcd(x_i)}mu(d)\
&=sum^h_{x_i=l}sum_{dmid x_i}mu(d)\
&=sum^h_{d=1}sum_{l<x_i h,dmid x_i}mu(d)\
&=sum^h_{d=1}(lfloorfrac{h}{d} floor-lfloorfrac{l}{d} floor)^nmu(d)\
end{aligned}

CODE：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<map>
using namespace std;

#define mod 1000000007
int n,k,l,r,ans=0;
int mu1[2000005],pri[2000005],cnt=0;
bool vis[2000005];
map<int,int> mu2; 

int qpow(int x,int y){
    int ans=1;
    while(y){
        if(y&1)ans=1LL*ans*x%mod;
        y>>=1,x=1LL*x*x%mod;
    }
    return ans;
}

int init(){
    mu1[1]=1;
    for(int i=2;i<=2000000;i++){
        if(!vis[i]){
            mu1[i]=-1;
            pri[++cnt]=i;
        }
        for(int j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=2000000;j++){
            vis[i*pri[j]]=true;
            if(i%pri[j]==0){
                mu1[i*pri[j]]=0;break;
            }else mu1[i*pri[j]]=-mu1[i];
        }
    }
    for(int i=1;i<=2000000;i++)mu1[i]+=mu1[i-1];
}

int get_mu(int x){
    if(x<=2000000)return mu1[x];
    if(mu2.count(x))return mu2[x];
    long long ans=1;
    for(int i=1,pos;i<=(x>>1);i=pos+1){
        pos=x/(x/i);
        ans-=1LL*(get_mu(pos)-get_mu(i-1))*(x/i-1);
    }
    return mu2[x]=(ans+mod)%mod;
}

int main(){
    scanf("%d%d%d%d",&n,&k,&l,&r);
    init();
    l=(l-1)/k,r=r/k;
    for(int i=1,pos;i<=r;i=pos+1){
        pos=min(r/(r/i),l/i?(l/(l/i)):(int)2e9);
        ans=(ans+1LL*qpow(r/i-l/i,n)*(get_mu(pos)-get_mu(i-1)))%mod;
    }
    printf("%d",(ans+mod)%mod);
}

T3：由乃的OJ

强烈建议先做简化版——起床困难综合症；

核心：位运算每位独立，互不影响，不像加法、乘法会有进位！！

这个只不过变为了多组查询，树上操作。

用树剖啊！！线段树维护每一位正着和反着，每一位 1 与 0 的情况，压在一个 unsigned long long 里

会做那题，肯定能想到这题的正解，只不过很考验代码实现能力。

CODE：

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;

#define LL long long
#define lch (o<<1)
#define rch (o<<1|1)
int n,m,k,ot,x,y,tot=0,cnt=0,h[100005];
int fa[100005],dep[100005],son[100005],opt[100005];
int siz[100005],tp[100005],tid[100005],rak[100005];
unsigned long long z,val[100005];
struct Node{
    unsigned long long L0,L1,R0,R1;
}v[400005],ans1[100005],ans2[100005];
struct Edge{
    int x,next;
}e[200005];

void add_edge(int x,int y){
    e[++tot].x=y;
    e[tot].next=h[x],h[x]=tot;
}

void dfs1(int x,int father,int deep){
    fa[x]=father,dep[x]=deep,siz[x]=1;
    for(int i=h[x];i;i=e[i].next){
        if(e[i].x==father)continue;
        dfs1(e[i].x,x,deep+1);
        siz[x]+=siz[e[i].x];
        if(siz[e[i].x]>siz[son[x]])son[x]=e[i].x;
    }
}

void dfs2(int x,int top){
    tp[x]=top,tid[x]=++cnt,rak[cnt]=x;
    if(son[x])dfs2(son[x],top);
    for(int i=h[x];i;i=e[i].next){
        if(e[i].x==fa[x]||e[i].x==son[x])continue;
        dfs2(e[i].x,e[i].x);
    }
}

unsigned LL opr(unsigned LL x,int opt,unsigned LL y){
    if(opt==1)return x&y;
    if(opt==2)return x|y;
    if(opt==3)return x^y;
}

Node merge(Node l,Node r){
    Node o;
    o.L0=o.L1=o.R0=o.R1=0;
    o.L0=(l.L0&r.L1)|((~l.L0)&r.L0);
    o.L1=(l.L1&r.L1)|((~l.L1)&r.L0);
    o.R0=(r.R0&l.R1)|((~r.R0)&l.R0);
    o.R1=(r.R1&l.R1)|((~r.R1)&l.R0);
    return o;
}

void build(int o,int l,int r){
    if(r==l){
        v[o].L0=v[o].R0=opr(0,opt[rak[l]],val[rak[l]]);
        v[o].L1=v[o].R1=opr(-1,opt[rak[l]],val[rak[l]]);
    }else{
        int mid=l+r>>1;
        build(lch,l,mid),build(rch,mid+1,r);
        v[o]=merge(v[lch],v[rch]);
    }
}

void update(int o,int l,int r,int x){
    if(r==l){
        v[o].L0=v[o].R0=opr(0,opt[rak[l]],val[rak[l]]);
        v[o].L1=v[o].R1=opr(-1,opt[rak[l]],val[rak[l]]);
    }else{
        int mid=l+r>>1;
        if(x<=mid)update(lch,l,mid,x);
        else update(rch,mid+1,r,x);
        v[o]=merge(v[lch],v[rch]);
    }
}

Node query(int o,int l,int r,int x,int y){
    if(l>=x&&r<=y)return v[o];
    else{
        int mid=l+r>>1,pd=false;
        Node ans;
        if(x<=mid)ans=query(lch,l,mid,x,y),pd=true;
        if(y>mid){
            if(pd)ans=merge(ans,query(rch,mid+1,r,x,y));
            else ans=query(rch,mid+1,r,x,y);
        }
        return ans;
    }
}

Node solve(int x,int y){
    int cnt1=0,cnt2=0;
    while(tp[x]!=tp[y]){
        if(dep[tp[x]]>dep[tp[y]]){
            ans1[++cnt1]=query(1,1,n,tid[tp[x]],tid[x]);
            x=fa[tp[x]];
        }
        else{
            ans2[++cnt2]=query(1,1,n,tid[tp[y]],tid[y]);
            y=fa[tp[y]];
        }
    }
    if(dep[x]<dep[y])
        ans2[++cnt2]=query(1,1,n,tid[x],tid[y]);
    else
        ans1[++cnt1]=query(1,1,n,tid[y],tid[x]);
    for(int i=1;i<=cnt1;i++)
        swap(ans1[i].L0,ans1[i].R0),swap(ans1[i].L1,ans1[i].R1);
    Node sum; 
    if(cnt1)sum=ans1[1];
    else sum=ans2[cnt2];
    for(int i=2;i<=cnt1;i++)sum=merge(sum,ans1[i]);
    if(cnt1&&cnt2)sum=merge(sum,ans2[cnt2]);
    for(int i=cnt2-1;i>=1;i--)sum=merge(sum,ans2[i]);
    return sum;
}

int main(){
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d%llu",opt+i,val+i);
    for(int i=1;i<n;i++){
        scanf("%d%d",&x,&y);
        add_edge(x,y);
        add_edge(y,x);
    }
    dfs1(1,-1,0),dfs2(1,1);
    build(1,1,n);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        scanf("%d%d%d%llu",&ot,&x,&y,&z);
        if(ot==1){
            Node a=solve(x,y);
            unsigned LL ans=0;
            for(int j=63;j>=0;j--){
                if(a.L0&(1ULL<<j))ans+=1ULL<<j;
                else if(a.L1&(1ULL<<j)&&(1ULL<<j)<=z)
                    ans+=1ULL<<j,z-=1ULL<<j;
            }
            printf("%llu
",ans);
        }
        if(ot==2){
            opt[x]=y,val[x]=z;
            update(1,1,n,tid[x]);
        }
    }
}

可怕！！