前言
本博文主要总结常见函数的图像的做法，为便于大家掌握，分类予以说明；
- 函数图像的做法回顾：常函数的平行线法；幂函数、指数函数、对数函数的关键点法；一次函数的两点法；二次函数的五点法或三点法；分段函数的分段法+截取法；复合函数的单调复合法；抽象函数的依托具体函数法；作图过程中还需要注意图像的单调性，奇偶性，周期性，特殊点，凹凸性，等等。
相关链接
1、函数图像的变换；
2、图像的作用
基本函数
熟练掌握常见的基本初等函数的图像的手工作图方法，在此列举函数的代表。
- 常函数，比如(f(x)=2)；
图像是经过点((0，2))的平行于(x)轴的一条直线；图像略。
- 幂函数，比如(y=x^{frac{1}{3}})，
奇函数，故重点做(xin [0，+infty))上的图像，又幂指数(alpha=frac{1}{3}in (0,1))，故经过关键点((0,0))和((1,1))，且在([0，+infty))上呈上凸函数式单调递增，等到做出([0，+infty))上的图像后，再将其关于原点对称，这样就做出了其完整图像。
特别强调反比例函数，即幂函数(f(x)=cfrac{1}{x})，是高中数学中图像变换的一个顶梁柱。
- 指数函数，比如(f(x)=(cfrac{1}{2})^x)，经过关键点((0,1))，((-1,2))，((1,cfrac{1}{2}))的单调递减的下凹式函数。
- 对数函数，比如(f(x)=log_2x)，经过关键点((1,0))，((2,1))，((cfrac{1}{2}，-1))的单调递增的上凸式函数。
- 三角函数，比如(f(x)=sinx)，在周期([0,2pi])内经过五个关键点((0,0))，((cfrac{pi}{2},1))，((pi,0))，((cfrac{3pi}{2},-1))，((2pi,0))的光滑正弦曲线。
- 正弦型函数图像；求(f(x)=2sin(2x+cfrac{pi}{3})+1，xin [0，cfrac{pi}{2}])的值域；
初等函数
[一次函数]：用两点法作图，比如(y=f(x)=2x+1)，其图像是一条直线，必然经过和(x)轴的交点((-cfrac{1}{2}，0))[令(y=0)，解方程就可以求得(x=-cfrac{1}{2})，故经过点((-cfrac{1}{2}，0))]，也必然经过和(y)轴的交点((0，1))[令(x=0)，解方程就可以求得(y=1)，故经过点((0，1))]，将两点连成一条直线即可。图略。
[二次函数]：用五点法作图，比如(y=f(x)=x^2-3x+2)，欲作图，先配方得到(f(x)=(x-cfrac{3}{2})^2-cfrac{1}{4})，则图像的最低点为((cfrac{3}{2}，-cfrac{1}{4}))；
令(x^2-3x+2=0)，得到图像与(x)轴的两个交点((1,0))和((2,0))；令(x=0)，即(y=2)，得到图像与(y)轴的交点((0,2))；
又点((0，2))关于对称轴(c=cfrac{3}{2})的对称点的坐标为((3,2))，到此五个点的坐标都得到了，做出如下的图像即可。
分段函数
之所以提醒各位，要非常熟练的掌握上述的基本初等函数和初等函数的作图方法，主要是分段函数中的每一段基本都是上述的图像；举例如下，
比如函数(f(x)=2^{|x|}=left{egin{array}{l}{2^x，xgeqslant 0}\{2^{-x}，x<0}end{array} ight.)，先做出函数(y=2^x)图像，从其图像上截取(xgeqslant 0)这一段图像[从竖直方向上看只要其横坐标(xgeq 0)即可]就是我们所要的第一段；再做函数(y=2^{-x}=(cfrac{1}{2})^x)图像，从其图像上截取(x<0)这一段图像就是我们所要的第二段；这两段共同构成了我们想要的分段函数的图像。
含参函数
]已知(a>0)，函数(f(x))满足(f(x)=egin{cases} (3-a)x-3 &xleq 7 \ a^{x-6} &x>7 end{cases})，函数(f(x))在(R)上单调递增，求(a)的取值范围。
分析：由题目可知，(egin{cases} &3-a>0 ① \ &a>1 ②\ &(3-a)7-3leq a^{7-6}③end{cases})；即(egin{cases}&a<3 \ &a>1 \ &age cfrac{9}{4}end{cases})
解得：(ain[cfrac{9}{4}，3))；
反思：1、本题目常犯的错误是缺少第三条的限制；学生常认为函数在两段上分别单调递增，则在整体定义域(R)上一定单调递增，这个认知是错误的。原因是前者是后者的必要不充分条件。
含参函数图像做法练习：
(f(x)=e^x+a)，(g(x)=k|x-1|)，
函数(f(x)=(2ax-1)(x+1)(ageq 0))的图像做法如下：
复合函数
(g(x)=2^{1-|x-2|})
复合函数的图像比较抽象，我们结合函数(f(x)=log_2(x^2-3x+2))为例说明；
令(u=x^2-3x+2)，则内函数为二次函数，由于在([1,2])上函数值(uleqslant 0)，故复合函数在区间([1，2])上没有图像，
外函数(y=f(x)=log_2u)为对数函数，由于内函数在区间((-infty，1))上单调递减，在区间((2，+infty))上单调递增，
故复合函数的单调递减区间为((-infty，1))，单调递增区间为((2，+infty))，
故做出复合函数图像如下图中的蓝色曲线，其中直线(x=1)和(x=2)为其两条渐近线。
抽象函数
分析：由题目可知，(T=4)，故(f(x+4)=f(x))，又(f(-x)=f(x))，则可知(f(x+4)=f(-x))，故函数图像关于(x=2)对称，
利用现有的定义域，奇偶性，周期性，对称性和解析式，做出适合题意的图像如下：
要是方程(f(x)=log_ax)有三个不同的实根，则需要满足(left{egin{array}{l}{a>1}\{log_a6<2}\{log_a10>2}end{array} ight.)，即(left{egin{array}{l}{a>1}\{a^2>6}\{a^2<10}end{array} ight.)，
解得(ain (sqrt{6}，sqrt{10}))。
组合函数，
对于下述的几个函数，若在题目中出现，我们往往不需要作出函数图像，只需要分析清楚其性质即可解决题目，如非要做出图像，也是可以的；
以函数(y=e^{1+|x|}-cfrac{1}{1+x^2})为例，分析其各种常用的性质，等性质分析清楚后，图像自然就可以手动做出了。
定义域为((-infty，+infty))，偶函数，接下来分析单调性，
当(xgeqslant 0)时，函数变形为(y=e^{1+x}-cfrac{1}{1+x^2})，由于(y=1+x)在([0，+infty))上单调递增，故(y=e^{1+x})在([0，+infty))上单调递增，又由于(y=1+x^2)在([0，+infty))上单调递增，故(y=-cfrac{1}{1+x^2})在([0，+infty))上单调递增，这样两个部分组合而成的函数(y=e^{1+x}-cfrac{1}{1+x^2})在([0，+infty))上单调递增，又由于是偶函数，故在((-infty，0])上单调递减，又(x=0)时，(y=e-1)，故做出示意图如下：
仿照上述的做法过程，我们也可以做出(y=ln(1+|x|)-cfrac{1}{1+x^2})的图像。
作图模板
①以(f(x)=2^{|x|})为模板，可以做函数(y=2^{|xpm 3|})的图像；
②以(f(x)=log_2|x|)为模板，可以做函数(y=log_2|xpm 3|)的图像；
③以(f(x)=x+cfrac{1}{x})为模板，可以做函数(y=(x-2)+cfrac{1}{x-2}=cfrac{x^2-4x+5}{x-2})的图像；
高阶作图
(f(x)=(2e^x+a)(e^x-a))，拆分，将两个函数作图于同一个坐标系，读图，应用。待整理。
正加正，正乘正
高阶提升
1、特殊分段函数的图像做法；
用图解题
（1）讨论(f(x))的单调性；
分析：利用导数求导解决，
(f'(x)=e^x(e^x-a)+e^xcdot e^x-a^2=)(2e^{2x}-e^xa-a^2=(e^x-a)cdot (2e^x+a))，
以下针对(a)分类讨论如下：
当(a=0)时，(f'(x)>0)恒成立，(f(x))在区间((-infty，+infty))上单调递增。
当(a>0)时，令(e^x>a)，解得(x>lna)，(f'(x)>0)，即在区间((lna，+infty))上函数(f(x))单调递增；
令(e^x<a)，解得(x<lna)，(f'(x)<0)，即在区间((-infty，lna))上函数(f(x))单调递减；
当(a<0)时，令(e^x>-cfrac{a}{2})，解得(x>ln(-cfrac{a}{2}))，(f'(x)>0)，即在区间((ln(-cfrac{a}{2})，+infty))上函数(f(x))单调递增；
令(e^x<-cfrac{a}{2})，解得(x<ln(-cfrac{a}{2}))，(f'(x)<0)，即在区间((-infty，ln(-cfrac{a}{2})))上函数(f(x))单调递减；
综上所述，当(a<0)时，函数(f(x))的单减区间是((-infty，ln(-cfrac{a}{2})))，单增区间是((ln(-cfrac{a}{2})，+infty))；
当(a=0)时，单增区间是((-infty，+infty))，无单减区间；
当(a>0)时，函数(f(x))的单减区间是((-infty，lna))，单增区间是((lna，+infty))；
（2）若(f(x)ge 0)，求(a)的取值范围。
分析：由于要(f(x)ge 0)恒成立，故只要求得(f(x)_{min}ge 0)即可，又最小值要用到函数的单调性，而函数的单调性又是与(a)的取值有关，故应该关于(a)分类讨论。
当(a<0)时，函数(f(x))的单减区间是((-infty，ln(-cfrac{a}{2})))，单增区间是((ln(-cfrac{a}{2})，+infty))；
故(f(x)_{min}=f(ln(-cfrac{a}{2}))=e^{ln(-frac{a}{2})}(e^{ln(-frac{a}{2})}-a)-a^2ln(-cfrac{a}{2})=a^2[cfrac{3}{4}-ln(-cfrac{a}{2})])，
令(=a^2[cfrac{3}{4}-ln(-cfrac{a}{2})]geqslant 0) 得到(ageqslant -2e^{frac{3}{4}})，故(-2e^{frac{3}{4}}leq a <0)；
当(a=0)时，(f(x)=e^{2x}ge 0)恒成立，故(a=0)满足题意；
当(a>0)时，函数(f(x))的单减区间是((-infty，lna))，单增区间是((lna，+infty))；
故(f(x)_{min}=f(lna)=e^{lna}(e^{lna}-a)-a^2lna=-a^2lna)，令(-a^2lnage 0)，得到(aleq 1)，故(0<a leq 1)；
综上所述，取并集得到(a)的取值范围是([-2e^{frac{3}{4}}，1])。