化简化简更简单

前言

在研究函数，我们一般要求函数的定义域应该优先考虑；那么在研究代数式或函数的其他性质时，则代数式或函数式能否化简就是首要考虑的问题。

定义域问题

求定义域时对函数解析式化简；

例1【2019届高三理科函数及其表示课时作业第15题】已知函数(f(x^2-3)=lgcfrac{x^2}{x^2-4})，则(f(x))的定义域为____________。

分析：令(x^2-3=t)，则(tge -3)，则(x^2=t+3)，(x^2-4=t-1)，

故原函数可以改写为(f(t)=lgcfrac{t+3}{t-1}(tge -3))，

即(f(x)=lgcfrac{x+3}{x-1}(xge -3))，

则在(xge -3)时，还必须(cfrac{x+3}{x-1}>0)，解得(x<-3)或(x>1)，

故所求定义域必须同时满足条件

(left{egin{array}{l}{xge -3}\{x<-3，x>1}end{array} ight.)，故定义域为(x>1)，即((1，+infty))；

求值域问题

求值域时对函数解析式化简；

例2【2019届高三理科资料用题】求函数(f(x)=cfrac{x^2+3x+3}{x+1})的值域。

分析：注意到函数的结构特征，我们一般考虑用分式裂项法，分离变量，

将函数转化为(f(x)=cfrac{x^2+3x+3}{x+1}=cfrac{(x^2+3x+2)+1}{x+1})

(=cfrac{(x+2)(x+1)+1}{x+1}=x+2+cfrac{1}{x+1})

(=(x+1)+cfrac{1}{x+1}+1)

(xlongequal[变量代换]{令x+1=t}t+cfrac{1}{t}+1)；

对照上述解析先求出函数(t+cfrac{1}{t})的值域是((-infty，-2]cup [2，+infty))，

则函数(t+cfrac{1}{t}+1)的值域，也就是原函数的值域为((-infty，-1]cup [3，+infty))。

判断奇偶性

求奇偶性时对函数解析式化简；

例3【2019届高三理科资料用题】定义两种运算：(a⊗b=sqrt{a^2-b^2})，(a⊕b=sqrt{(a-b)^2})，则(f(x)=)(cfrac{2⊗x}{2-(x⊕2)})的奇偶性如何？

分析：由定义的运算可知(2⊗x=sqrt{2^2-x^2}=sqrt{4-x^2})，(x⊕2=sqrt{(x-2)^2}=|x-2|)，

于是(f(x)=cfrac{sqrt{4-x^2}}{2-|x-2|})，仿例2先求得定义域为([-2，0)cup(0，2])，

故(f(x)=cfrac{sqrt{4-x^2}}{2-(2-x)}=cfrac{sqrt{4-x^2}}{x})，满足(f(-x)=-f(x))，故函数(f(x))为奇函数。

判断单调性

求单调性时对函数解析式化简；

例4【2019高三理科】对任意两个不相等的正数(x_1，x_2)，都有(cfrac{x_2f(x_1)-x_1f(x_2)}{x_1-x_2}>0)，记(a=cfrac{f(3^{0.2})}{3^{0.2}})，(b=cfrac{f(0.3^2)}{0.3^2})，(c=cfrac{f(log_25)}{log_25})，比较(a、b、c)的大小。

分析：构造函数(g(x)=cfrac{f(x)}{x})，令(0<x_1<x_2)，则由单调性定义的等价形式可得，

(cfrac{g(x_1)-g(x_2)}{x_1-x_2}=cfrac{cfrac{f(x_1)}{x_1}-cfrac{f(x_2)}{x_2}}{x_1-x_2}=cfrac{x_2f(x_1)-x_1f(x_2)}{x_1x_2(x_1-x_2)})

由题目，对任意两个不相等的正数(x_1，x_2)，都有(cfrac{x_2f(x_1)-x_1f(x_2)}{x_1-x_2}>0)，

则可知(cfrac{g(x_1)-g(x_2)}{x_1-x_2}>0)，即函数(g(x)=cfrac{f(x)}{x})是单调递增的，

故题目需要我们比较(g(3^{0.2}))，(g(0.3^2))，(g(log_25))这三个的大小关系，

只需要比较自变量的大小就可以了；

由于(1=3^0 < 3^{0.2} < 3^{0.5}=sqrt{3} <2)，(0 < 0.3^2=0.09 <1)，(log_25 > log_24=2)，

故(g(0.3^2) < g(3^{0.2}) < g(log_25))，即(b < a < c)。

求周期性时对函数解析式化简；

例5【2019届高三理科函数的奇偶性周期性课时作业第7题】设函数(f(x)(xin R))满足(f(x+pi))(=f(x))(+sinx)，当(0leq x<pi)时，(f(x)=0)，求(f(cfrac{23pi}{6}))的值。

分析：(f(x+2pi)=f[(x+pi)+pi]=f(x+pi)+sin(x+pi))

(=[f(x)+sinx]-sinx=f(x))，故(T=2pi)，

则(f(cfrac{23pi}{6})=f(pi+cfrac{5pi}{6}))

(=f(cfrac{5pi}{6})+sincfrac{5pi}{6})

(=0+cfrac{1}{2}=cfrac{1}{2})。

求解不等式

求不等式时对代数式化简；

例6【2019届高三理科数学题】求解不等式(cfrac{(x^2+x+1)(x+1)(x-1)}{e^x}<0)。

分析：由于注意到(e^x>0)，(x^2+x+1>0)，故原不等式可以化简为((x+1)(x-1)<0)，故解集为(xin (-1，1))。

解后反思：(x^2pm x+1>0)，(e^x>0)，(2^x>0)，(a^x>0(a>0，a eq 1))，(|x|geqslant 0)，(x^2geqslant 0)

例8【2019宝鸡中学试题】定义在(R)上的偶函数(f(x))满足：对任意的(x_1)，(x_2in(-infty，0](x_1 eq x_2))，有((x_1-x_2)[f(x_2)-f(x_1)]<0)，且(f(2)=0)，则不等式(cfrac{3f(x)+f(-x)}{5x}<0)的解集为_____________。

分析：对任意的(x_1)，(x_2in(-infty，0](x_1 eq x_2))，有((x_1-x_2)[f(x_2)-f(x_1)]<0)，

即(x_1)，(x_2in(-infty，0](x_1 eq x_2))，有((x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]>0)，

即函数在((-infty，0])上单调递增，故由偶函数可知，函数在([0，+infty))上单调递减，

又由于偶函数，则(f(2)=f(-2)=0)，做出适合题意的示意图如下，

且不等式(cfrac{3f(x)+f(-x)}{5x}<0)可以转化为(cfrac{3f(x)+f(x)}{5x}<0)

即(cfrac{f(x)}{x}<0)，由图可知，解为(-2<xleqslant 0)或(x>2)。

故解集为((-2，0]cup (2，+infty))。

例7当(xin[-1，0])时，求证：(cfrac{1+x}{1-x}leq e^{2x}leq cfrac{1}{(1-x)^2})

• 以下重点说明(xin[-1，0])时，求证：(cfrac{1+x}{1-x}leq e^{2x})

思路一：直接做差，令(f(x)=cfrac{1+x}{1-x}- e^{2x})，然后用导数求解(f(x)_{max}leq 0)

思路二：变形做差，(cfrac{1+x}{1-x}leq e^{2x}Longleftrightarrow 1+xleq e^{2x}(1-x))

令(g(x)=(1+x)- e^{2x}(1-x))，然后用导数求解(g(x)_{max}leq 0)

思路三：深度变形做差，(cfrac{1+x}{1-x}leq e^{2x}Longleftrightarrow 1+xleq e^{2x}(1-x)Longleftrightarrow (1+x)e^{-x}leq (1-x)e^x)

令(h(x)=(1+x)e^{-x}-(1-x)e^x)，然后用导数求解(h(x)_{max}leq 0)

如果你乐意动手求导数，你会发现只有思路三求导最简单，也最好把握，由此我们感悟，作差构造函数时，一般应该先做适当的等价变换，然后再作差构造函数。

求解导数

求导数时对函数解析式化简；

例8【2019届高三理科题】求函数(f( heta)=cos^2 heta-sin^2 heta)的导数。

分析：本题目的求导，既可以直接求导，也可以化简后再求导。难易程度一目了然。

法1：(f'( heta)=2cos hetacdot (-sin heta)-2sin hetacdot (cos heta)=-2sin2 heta)；

法2：先化简，(f( heta)=cos2 heta)，再求导，

(f'( heta)=-sin2 hetacdot 2=-2sin2 heta)。

例9【2019届高三理科题】对函数(g(x)=(1+x)cfrac{lnx}{1-x})求导；

求导思路1：令(g(x)=(1+x)cdot f(x)=(1+x)cfrac{lnx}{1-x})，

则(g'(x)=cfrac{lnx}{1-x}+(1+x)cfrac{cfrac{1}{x}(1-x)-lnxcdot (1-x)'}{(1-x)^2})

(=cfrac{lnx}{1-x}+(1+x)cfrac{cfrac{1}{x}(1-x)+lnx}{(1-x)^2})

(=cfrac{lnx(1-x)+cfrac{1}{x}(1-x)^2+(1+x)lnx}{(1-x)^2})

(=cfrac{2lnx-x+cfrac{1}{x}}{(1-x)^2})，

求导思路2：令(g(x)=lnxcdot cfrac{1+x}{1-x}=lnx(1+cfrac{2}{1-x})=lnx(1-cfrac{2}{x-1}))；

则(g'(x)=[lnx(1-cfrac{2}{x-1})]')(=cfrac{1}{x}cdot (1-cfrac{2}{x-1})+lnxcdot (1-cfrac{2}{x-1})')

(=cfrac{1}{x}cdot cfrac{1+x}{1-x}+lnxcdot cfrac{2}{(x-1)^2})

(=cfrac{(1+x)(1-x)}{x(1-x)^2}+ cfrac{2xlnx}{x(x-1)^2})

(=cfrac{2xlnx+1-x^2}{x(x-1)^2}=cfrac{2lnx-x+frac{1}{x}}{(x-1)^2})

案例2 已知(g(x)=cfrac{2xlnx+x^2+3}{x})，求(g'(x))；

思路一：利用((cfrac{u}{v})'=cfrac{u'v-uv'}{v^2})计算

(g'(x)=cfrac{[2(1+lnx)+2x]cdot x-(2xlnx+x^2+3)cdot 1}{x^2}=cfrac{x^2+2x-3}{x^2})；

思路二：先化简再求导后通分，(g(x)=2lnx+x+cfrac{3}{x})，

则(g'(x)=cfrac{2}{x}+1-cfrac{3}{x^2}=cfrac{x^2+2x-3}{x^2})

案例3已知(f(x)=lncfrac{x-1}{x+1})，求(f'(x))

思路一：令(u=cfrac{x-1}{x+1})，则(f'(x)=cfrac{1}{u}cdot u'_x)

(=cfrac{x+1}{x-1}cdot cfrac{1cdot(x+1)-(x-1)cdot 1}{(x+1)^2})

(=cfrac{x+1}{x-1}cdot cfrac{2}{(x+1)^2}=cfrac{2}{x^2-1})

思路二：(f(x)=lncfrac{x-1}{x+1}=ln(x-1)-ln(x+1))，

则(f'(x)=cfrac{1}{x-1}cdot (x-1)'-cfrac{1}{x+1}cdot (x+1)')

(=cfrac{1}{x-1}-cfrac{1}{x+1}=cfrac{2}{x^2-1})

案例4已知定义域为(R)的函数(f(x)=ln(sqrt{x^2+1}-x))，判断函数(f(x))的奇偶性；

法1：变形运算较难，利用(f(-x)=pm f(x))来判断；

(f(-x)=ln(sqrt{x^2+1}+x))

(=ln(frac{1}{sqrt{x^2+1}-x}))

(=ln(sqrt{x^2+1}-x)^{-1})

(=-ln(sqrt{x^2+1}-x)=-f(x))

即函数(f(x))为奇函数；

备注：((sqrt{x^2+1}+x)(sqrt{x^2+1}-x)=1)；((sqrt{n+1}-sqrt{n})(sqrt{n+1}+sqrt{n})=1)；

法2：变形运算容易，利用变形式(f(-x)pm f(x)=0)来判断；

由于(f(x)=ln(sqrt{x^2+1}-x))，则(f(-x)=ln(sqrt{x^2+1}+x))，

即(f(x)+f(-x)=ln(sqrt{x^2+1}-x)+ln(sqrt{x^2+1}+x)=ln1=0)，即函数(f(x))为奇函数；

引例2，已知函数(g(x)=lg(sqrt{sin^2x+1}+sinx))，判断其奇偶性；

分析：同上例，可知(g(-x)=lg(sqrt{sin^2x+1}-sinx))，即(g(x)+g(-x)=lg1=0)，即函数(g(x))为奇函数；

反思：虽然说(f(-x)=-f(x))和(f(-x)+f(x)=0)是等价的，但是有时候我们感觉二者是有区别的，尤其是涉及到对数型函数的奇偶性的判断时，更是如此；

案例5化简(cfrac{2}{e^{-x}+1})

思路一：运用分式的通分，分式的除法等，(cfrac{2}{e^{-x}+1}=cfrac{2}{frac{1}{e^x}+1}=cfrac{2}{frac{e^x+1}{e^x}}=cfrac{2e^x}{e^x+1})；

思路二：运用分式的性质，(cfrac{2}{e^{-x}+1}=cfrac{2cdot e^x}{(e^{-x}+1)cdot e^x}=cfrac{2e^x}{e^x+1})；

求定积分

求积分时对函数解析式化简；

例10【2019届高三理科资料用题】求定积分(displaystyleint_{0}^{frac{pi}{2}} (coscfrac{x}{2}-sincfrac{x}{2})^2;; dx)；

分析：(displaystyleint_{0}^{frac{pi}{2}} (coscfrac{x}{2}-sincfrac{x}{2})^2;; dx)

(=int_{0}^{frac{pi}{2}} (1-sinx); dx)

(displaystyle=(x+cosx)igg|_{0}^{cfrac{pi}{2}})

(=cfrac{pi}{2}-1)。

涉及函数和方程问题的化简

例11【(2017(cdot)全国卷3理科第12题】【函数的零点】已知函数(f(x)=x^2-2x+a(e^{x-1}+e^{-x+1}))有唯一的零点，则(a)的值为【】

$A.-cfrac{1}{2}$ $B.cfrac{1}{3}$ $C.cfrac{1}{2}$ $D.1$

【法1】：分离常数法，本题目就不适宜使用此法；

由(f(x)=0)得到(a(e^{x-1}+e^{-x+1})=-x^2+2x)，分离得到(a=cfrac{-x^2+2x}{e^{x-1}+e^{-x+1}}=h(x))，

你应该能感觉到函数(h(x))若要用导数分析其单调性，那会是相当的难，故分离参数的思路一般在这个题目中，就自然舍弃了。

【法2】：由题目可知方程(f(x)=0)仅有一解，即(a(e^{x-1}+e^{-x+1})=-x^2+2x)仅有一解，

即函数(y=a(e^{x-1}+e^{-x+1}))与函数(y=-x^2+2x)的图像仅有一个交点。参考图像

手工怎么作图呢，函数(y=-x^2+2x)的图像大家应该会的，故重点说(y=a(e^{x-1}+e^{-x+1}))的图像。

令函数(g(x)=y=e^x+cfrac{1}{e^x}=e^x+e^{-x})，则是偶函数，(g(0)=2)，

当(xge 0)时，(g'(x)=e^x-e^{-x})，(g'(x))单调递增，

故(g'(x)ge g'(0)=0)，则函数(g(x))在([0，+infty))上单调递增，又由偶函数可知，在((-infty，0])上单调递减，

这样我们就做出了函数(g(x)=e^x+cfrac{1}{e^x})的图像，然后将其向右平移一个单位，得到(y=e^{x-1}+e^{-x+1})的图像，

前边的系数(a)的作用有两个，其一控制张角大小，其二控制函数最低点的位置，

就像函数(y=a|x|)中的(a)的作用一样的，所以我们就能用手工做出函数(y=a(e^{x-1}+e^{-x+1}))的图像，

要使得函数(y=a(e^{x-1}+e^{-x+1}))与函数(y=-x^2+2x)的图像仅有一个交点，

就需要函数(y=a(e^{x-1}+e^{-x+1}))的最小值(a(e^{1-1}+e^{-1+1})=2a)和函数(y=-x^2+2x)的最大值(-1^2+2 imes1=1)相等，

故(2a=1)，解得(a=cfrac{1}{2})。故选(C).

【法3】：构造函数法+函数性质法；

函数(f(x)=x^2-2x+a(e^{x-1}+e^{-x+1})=(x-1)^2+a[e^{x-1}+e^{-(x-1)}]-1)，

令(t=x-1)，则(g(t)=f(x-1)=t^2+a(e^t+e^{-t})-1)，

由于(g(-t)=t^2+a(e^t+e^{-t})-1=g(t))，故(g(t))为偶函数，

由于函数(f(x))有唯一零点，则函数(g(t))也有唯一零点，

又函数(g(t))是偶函数，即函数(g(t))与(t)轴仅有一个交点，则(g(0)=0)，

代入得到(2a-1=0)，即(a=cfrac{1}{2})；故选(C).

【法4】：函数(f(x)=0Leftrightarrow) (a(e^{x-1}+e^{-(x-1)})=-x^2+2x)

(e^{x-1}+e^{-(x-1)}ge 2sqrt{e^{x-1}cdot e^{-(x-1)}}=2)，当且仅当(x=1)时取到等号；

(-x^2+2x=-(x-1)^2+1leq 1)；

若(a>0)时，(a(e^{x-1}+e^{-(x-1)})ge 2a)，

要使(f(x))仅有一个零点，则必有(2a=1)，解得(a=cfrac{1}{2})；

若(a<0)，则函数(f(x))的零点不唯一，

综上，(a=cfrac{1}{2})；故选(C).

【法5】由(f(x)=x^2-2x+a(e^{x-1}+e^{-x+1}))，

得到(f(2-x)=(2-x)^2-2(2-x)+a(e^{2-x-1}+e^{-(2-x)+1})=x^2-2x+a(e^{x-1}+e^{-x+1}))，

所以(f(2-x)=f(x))，故(x=1)是函数(f(x))图像的对称轴。

由题意可知，函数(f(x))有唯一的零点，

故只能是(x=1)，

即(f(1)=1^2-2 imes1+a(e^{1-1}+e^{-1+1})=0)，

解得(a=cfrac{1}{2})，故选(C).

【法6】我们一般这样转化，由函数(f(x))有唯一的零点，

得到方程(x^2-2x=-a(e^{x-1}+e^{-x+1}))有唯一解，注意到方程的右端，

我们可以和对勾函数做以联系，令(x-1=t)，则(x=t+1)，

故原方程就转化为((t+1)^2-2(t+1)=-a(e^t+e^{-t}))，为了便于做出图像，

还需要再代换，令(e^t=x)，则(x>0)且(t=lnx)，

这样方程就又转化为(ln^2x-1=-a(x+cfrac{1}{x}))，

在同一个坐标系中，分别做出函数(y=ln^2x-1)和(y=-a(x+cfrac{1}{x}))的图像，

由图像可知对勾函数前面的系数必须满足(-a=-cfrac{1}{2})，

即(a=cfrac{1}{2})，故选(C).

函数解析式

涉及解析式的化简

例4已知函数(f(x))满足(f(cfrac{2}{x+|x|})=log_2sqrt{x|x|})，则(f(x))的解析式是___________。

分析：由给定的解析式可知，题目中隐含条件(x>0)，

那么在(x>0)的前提下，可以化简(f(cfrac{2}{x+x})=log_2sqrt{xcdot x})，

即(f(cfrac{1}{x})=log_2 x)，代换得到所求的解析式为(f(x)=-log_2x(x>0)).