概念引入
如图所示，已知函数(y=f(x))，给定其上的两个点(A(x_0，y_0))和(B(x_0+Delta x，y_0+Delta y))，
上图备注：直线(AB)，为函数的割线；
则经过这两个点的直线(AB)，我们称为函数的割线，我们称下列的表达式
为函数在((x_0，x_0+Delta x))上的平均变化率，也就是割线的斜率(k=cfrac{Delta y}{Delta x})，
当点(B)沿着函数图像向点(A)靠近时，即(Delta x ightarrow 0)时，割线就变成了切线，也就是平均变化率变成了瞬时变化率。
如下的数学表达式，
我们称为函数在点(x=x_0)处的瞬时变化率，如果这个极限存在，记为常数(k)，就称函数在这一点有导数，并称之为函数在点(x=x_0)的导数，
记作(f'(x_0)=limlimits_{Delta x o 0} cfrac{Delta y}{Delta x})，或者记作(y'|_{x=x_0})或者(cfrac{df(x_0)}{dx})
廓清认知
1、函数在某一点处的导数，是一个常数，其对应的形为函数在这一点的切线的斜率。即
若切点坐标是((x_0，y_0))，则切线方程为：$$y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)$$
2、函数在某一点有导数的前提条件是函数在这一点的极限[即左极限和右极限都存在且相等]要存在，初高中阶段所学的函数中有一个函数(y=|x|)，在(x=0)处就没有导数，即函数(y=|x|)在(x=0)处不可导，粗浅的可以这样理解，凡是函数图像上有尖角的地方就不可导，[详细的原因是函数在这一点处的左右导数不相等。]
3、导数与几何、代数、物理都有关联，比如在几何上可以求在某点处的切线斜率；在代数上可以求瞬时变化率；在物理上可以求速度和加速度(位移对时间的导数是速度，速度对时间的导数是加速度)；
4、求导和求不定积分是一对互逆的运算。
5、对函数而言，连续不一定可导，但可导一定连续。比如函数(y=|x|)，故函数在某个区间上连续是函数可导的必要不充分条件，因此我们给函数求导时往往需要先要求函数连续。
6、过函数上某一定点的割线的极限是函数在这一点处的切线，割线的斜率的极限就是切线的斜率。
7、我们在初中定义直线和圆(圆是非常特殊的封闭图形)相切时是利用交点的个数，
当二者只有一个交点时，就一定相切；当二者相切时必然只有一个交点。
但是当我们的研究范围和方法变化后，我们利用割线的极限来定义切线，就得注意打破这一点，
- 当直线和曲线相切时，不一定只有一个交点，也可能有无数个交点，
比如直线(y=1)和曲线(y=sinx)，二者相切，有无数个交点。
- 当直线和曲线只有一个交点时，不一定是相切的，也可能相交，
比如直线(x=1)和抛物线(y=(x-1)^2)只有一个交点，但此时二者是相交的，不是相切的。
上图演示的是，圆的割线的极限位置就是切线；
8、函数的导数是个常数，记作(y'|_{x=x_0})或$$f'(x_0)=limlimits_{Delta x o 0} cfrac{Delta y}{Delta x}=limlimits_{Delta x o 0}cfrac{f(x_0+Delta x)-f(x_0)}{Delta x}$$
而导函数是个函数，是个变量，记作(y'|_{x})或$$f'(x)=limlimits_{Delta x o 0} cfrac{Delta y}{Delta x}=limlimits_{Delta x o 0}cfrac{f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x}$$
9、用定义法可以求函数的导数和导函数，
-
比如求函数(f(x)=cfrac{1}{sqrt{x}})在(x=1)处的导数；
-
比如求函数(f(x)=x^3-3x^2+1)的导函数；
10、常常利用函数的导数是常数设置题目，如已知函数(f(x)=x^2+2f'(2)x+3)，求函数的解析式[1]
11、实际问题中的导数的意义：在不同的实际问题中，导数的意义是不相同的。
比如：功率是功关于时间的导数；速度是路程关于时间的导数；
加速度是速度关于时间的导数；线密度是质量关于长度的导数；
边际成本是成本关于产量的导数；气球的膨胀率是气球半径关于体积的导数。
12、定义的应用举例：
分析：(f'(x_0)=limlimits_{Delta x o 0} cfrac{Delta y}{Delta x}=limlimits_{Delta x o 0}cfrac{f(x_0+Delta x)-f(x_0)}{Delta x})
为便于表述和计算，记(f(x)=cfrac{1}{sqrt{x}})，
则(cfrac{Delta y}{Delta x}=cfrac{f(1+Delta x)-f(1)}{Delta x})(=cfrac{cfrac{1}{sqrt{1+Delta x}}-1}{Delta x})
(hspace{3em}=cfrac{cfrac{1-sqrt{1+Delta x}}{sqrt{1+Delta x}}}{Delta x})(=cfrac{1-sqrt{1+Delta x}}{Delta xcdot sqrt{1+Delta x}})
(hspace{3em}=cfrac{(1-sqrt{1+Delta x})cdot (1+sqrt{1+Delta x})}{Delta xcdot sqrt{1+Delta x}cdot (1+sqrt{1+Delta x})})
(hspace{3em}=cfrac{-Delta x}{Delta xcdot sqrt{1+Delta x}cdot (1+sqrt{1+Delta x})})
(hspace{3em}=cfrac{-1}{sqrt{1+Delta x}cdot (1+sqrt{1+Delta x})})
则(limlimits_{Delta x o 0} cfrac{Delta y}{Delta x}=limlimits_{Delta x o 0} cfrac{-1}{sqrt{1+Delta x}cdot (1+sqrt{1+Delta x})})(=-cfrac{1}{2})。
补遗：用公式法求解导数，由于(y=x^{-cfrac{1}{2}})，则(y'=-cfrac{1}{2}x^{-frac{1}{2}-1})，
当(x=1)时，(y'|_{x=1}=-cfrac{1}{2}cdot 1^{-frac{1}{2}-1}=-cfrac{1}{2}).
13、求函数的导数、导函数的方法有定义法和公式法，使用定义法可以帮助我们理解这些公式的来源和正确性。但在后续的学习中，我们一般不用定义法求函数的导数。
14、导数的计算原则和方法
①原则：先化简解析式，使之变成能用八个求导公式[即求导公式]求导的和、差、积、商的形式[即求导法则]，然后求导；
具体方法如下：
②连乘积的形式：先展开化简为多项式的形式，再求导；
③分式形式：观察函数的结构特征，考虑化为整式函数或部分分式形式的函数，再求导；
④对数形式：先化为和、差形式，再求导；
⑤根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；
⑥三角形式：先利用三角公式化为和或差的形式，再求导；
典例剖析
分析：由题可知，(f(2)=2 imes 3+1=7)，(f'(2)=3)，故(f(2)+f'(2)=10);
分析：回顾导数的定义式，$$limlimits_{Delta x o 0} cfrac{Delta y}{Delta x}=limlimits_{Delta x o 0}cfrac{f(x_0+Delta x)-f(x_0)}{Delta x}$$
变形如下，由于(cfrac{f(-Delta x)-f(Delta x)}{Delta x})
(=cfrac{-[f(0)-f(0-Delta x)]-[f(0+Delta x)-f(0)]}{Delta x})
(=cfrac{-[f(0)-f(0-Delta x)]}{Delta x}+cfrac{-[f(0+Delta x)-f(0)]}{Delta x})
故(limlimits_{Delta x o 0} cfrac{f(-Delta x)-f(Delta x)}{Delta x})
(=limlimits_{Delta x o 0}cfrac{-[f(0)-f(0-Delta x)]}{Delta x} +limlimits_{Delta x o 0} cfrac{-[f(0+Delta x)-f(0)]}{Delta x})
(=-f'(x)|_{x=0}-f'(x)|_{x=0}=-(2e^{2x}+3)|_{x=0}-(2e^{2x}+3)|_{x=0}=-10)
分析：就是利用函数的导数是个常数，给函数求导得到，
(f'(x)=2x+2f'(2))，令(x=2)，解得(f'(2)=-4)，
故函数的解析式为(f(x)=x^2-8x+3)。 ↩︎