iga 入门之 区域剖分

简介

摘自 流体力学数值方法

detail

区域剖分是有限元方法在编写程序之前进行准备工作的重要一步，工作量较大。
完成如下几项

1. 单元划分，确定结点
   将求解区域（也就是积分表达式中的几分区域）划分成若干互相连接，不重叠的子区域，这些子区域称为单元。单元的几何形状可以人为选取，一般有规则化的几种形状可供选择，但尺寸大小可以不一样。
   a. 一维问题：将求解的线段区域划分成若干线段子区域，每个单元的线段长度可以不一样。
   b. 二维问题：最通常的是将平面上的求解区域划分成为若干三角形单元，矩形单元；也可以是曲边三角形单元，任意四边形或曲线四边形单元。
   c. 三维问题：最通常是将空间的求解区域划分成若干四面体单元，或者是矩形六面体单元。
   单元在区域中分布的疏密程度或单元的尺寸大小是根据问题的物理形式来决定的。一般地说物理量变化剧烈的地方，单元尺寸相对要小一些，单元不知要密一些。
   单元中的结点要根据对近似函数连续可微性要求等因素决定数目的多少。除单元的角点一定是结点外，单元体的边界尚或内部均可布置结点。每个单元体重结点数目及排列方式，一般是相同的。由于有限元方法已经相当成熟，单元类型和结点的布置已经规则化了。
2. 编写单元序号、单元结点好以及总体结点号
   单元划分以及结点完全确定以后，要进行编号。序号有三种：
   a. 单元号 全区域的单元顺序编号。不妨记单元号为$e, e=1,2...E; $ E是区域中单元的总数。
   b. 总体结点好 全区域的节点，按一定的顺序统一编号。不妨记总体结点号为 (n, n=1,2...N;)N是节点总数。结点编号的顺序，一般原则是尽可能使同一单元内的结点号比较接近。以后可以看到，单元内节点序号的差值决定了总体系数矩阵的带宽。
   c. 单元结点号 对每一个单元，将其中的节点按一定的顺序进行编号。不妨记单元结点号为i,i=1,2...,I;I是单元中节点的数目。如三结点三角形单元I=3.单元结点号是相对每一个单元而言的，因此必须和单元号联系在一起才有意义。必须注意，每个单元中序号的排列顺序必须统一。如三角形单元中的单元结点号是按逆时针转向排序的。
3. 列出每个单元中单元结点号与总体结点号之间一一对应的关系
   区域中的每一个结点，都有两个序号。在进行单元分析时，采用的是单元结点号；在总体合成时，采用的是总体结点号。单元结点号与总体结点号的对应关系必须准确地表示清楚。通常采用图示法和列表法表示。所谓图示法就是在单元剖分图上，对每一个结点，同时标出它的单元结点号和总体结点号。这种序号对应关系还必须列出表格，使得可以清楚地表示出来。
   类似下图
   

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i 表示单元结点号，n表示总体结点号

4. 列出结点的位置坐标
   在单元剖分图上，应建立合适的坐标系，每个节点的位置坐标用表格的形式表示清楚。在计算程序中，它将通过输入语句送入这些数据，在计算时加以应用。
   

5. 分别列出本质边界与自然边界上的结点号及相应的边界值
   通过表格列出这些数据。在计算程序中，它将通过输入语句送入并在计算时加以应用。本例题中只有本质边界条件的节点，数据如下