算法的时间复杂度分析

算法分析

• 算法分析即指对一个算法所需要的资源进行预测
  • 内存，通信带宽或者计算机硬件等资源偶尔是我们关心的
  • 通常，资源是指我们希望测度的计算时间

RAM模型

• 分析一个算法之前，需要建立一个实现技术的模型，包括描述所用资源及其代价的模型

• RAM模型：单处理器，随机存取RAM

  • 指令一条接一条地执行，没有并发操作（单处理器）
  • 包含真实计算机中的常见指令：算术，数据移动，控制
  • 每条指令所需时间为常量
  • 数据类型为整型和浮点型

• 灰色领域：真实计算机包含的其他指令，不是常量时间的那种。没有对存储器层次进行建模。

算法运行时间

• 运行时间取决于输入的内容

  • 相同规模(n),不同的序列有不同的运行时间，比如逆序序列或者顺序序列

• 运行时间取决于数据的规模

  • (n)越大，时间自然越多
  • 一般来说，算法所需时间与输入规模同步增长，因此一个程序的运行时间是其输入的函数

• 通常我们关心运行时间的上限(最坏情况)

• 注：我们分析时间时要使用机器独立的时间单位，即不考虑机器不同带来的影响。

插入排序时间分析

• 假设每行每次执行的时间为常量(c_i)

for j: 2 to length[A]:
	do key = A[j]
	   i = j-1
       while i>0 and A[i]>key
       		do A[i+1] = A[i]
       		i = i-1
       A[i+1] = key

1. (cost:c_1;times:n) (包含跳出循环的那次)

   注：for循环是刚刚进入循环时就要判断一次条件，然后再执行j--，再判断条件，直到判断条件不满足，不进入循环。假设循环(n)个元素，实际执行(n+1) 次比较

2. (cost:c_2;times:n-1)

3. (cost:c_3;times:n-1)

4. (cost:c_4;times:sumlimits_{j=2}^nt_j, t_j) 为一次for循环中while循环的判断次数

5. (cost:c_5;times:sumlimits_{j=2}^n(t_j-1),)

6. (cost:c_6;times:sumlimits_{j=2}^n(t_j-1))

7. (cost:c_7;times:n-1)

(t_j) 取决于与序列排序情况有关，如果已经排好序了，(A[j-1])总是小于key了，所以每次for循环只算判断了一次while，总共(n-1)次，如果是逆序，前一个总比后一个大，满足while条件，每次for循环中while判断次数为(t_j=j-1+1=j) ，总共(sumlimits_{j=2}^n{t_j}) 次。

总的运行时间：

(T(n)=c_1n+c_2(n-1)+c_3(n-1)+c_4sumlimits_{j=2}^n{t_j}+c_5sumlimits_{j=2}^n(t_j-1)+c_6sumlimits_{j=2}^n(t_j-1)+c_7(n-1))

渐进分析

• 如果一个算法的最坏情况运行时间要比另一个算法的低，我们就常常认为它的效率更高。那么如何比较两个算法的运行时间呢？
• 渐进表示：忽略每条语句的真实代价，而用常量(c_i) 表示，只考虑公式中的最高次项(低阶项相对来说不太重要)，忽略最高次项的常数系数（对于增长率而言，系数是次要的）
  • 在输入的规模较小时，由于常数项和低次项的影响，这种看法有时可能是不对的。对规模足够大的输入来说，这种看法总是对的。
• 虽然有时候能够精确确定一个算法的运行时间，但通常没有必要。（在RAM模型下，可以精确计算T(n)）
• 渐近分析更有意义（对不是很小的输入规模而言，从渐进意义上说更有效的算法就是最佳的选择）

渐进符号

(Theta(g(n))={f(n):存在正常数c_1,c_2,n_0,对所有的nge{n_0},有0le{c_1g(n)le{f(n)}le{c_2g(n)}}})

• (Theta(g(n))) 是一个集合，记号(f(n)=Theta(g(n))) 是指(f(n)) 是这个集合中的一个元素，不是指相等

• 具体来说：当(n)大于某个数时，一个与(n)有关的函数(f(n))，不管(n)如何增长，其大小总是被限制到(c_1g(n))和 (c_2g(n))之间。

• 在时间复杂度分析中，(f(n))即我们所要求的(T(n))，当我们不需要精确地求出(T(n))时，我们只需要大致知道它随(n)增长时，其值的上下界如何，即这个算法的运行时间肯定不会超过某个时间，不会低于某个时间。

• **比如：(T(n)=Theta(n^2)) 表示该算法的运行时间不会超过(c_1n^2) ，不会低于(c_2n^2) **

  • (Theta(n^2)) 是所有满足该性质的算法的(T(n)) 的集合

(O(g(n))={f(n):存在正常数c,n_0,对所有的nge{n_0},有0le{f(n)}le{cg(n)}})

• 描述了算法运行的上界，不会超过常数倍的(g(n)) ，即最坏情况
• 比如 (T(n)=O(n^2)) 表示该算法运行时间不会超过(cn^2)

(Omega(g(n))={f(n):存在正常数c,n_0,对所有的nge{n_0},有0le{cg(n)}le{f(n)}})

• 描述算法运行的下界，表示不低于常数倍(cg(n))

一个渐进正函数中的低阶项和最高阶项的系数在决定渐进确界(上界、下界)时可以被忽略

分治算法分析

• 分治法在每一层递归上都有三个步骤：

  分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题；

  解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题；

  合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。

• 另外，分解到什么规模就够了呢？即分解到子问题可以找到一个方法，使得在线性时间/常量时间内就可以解决。比如归并排序问题，排序到什么时候最容易解决呢？当然是分解到序列内只有一个元素

• 分治法的递归式

  • (T(n)) 为规模为(n)的问题的运行时间,(D(n))为分解问题所需时间,(C(n)) 为合并解所需时间

[T(n)=egin{cases} Theta(1) & nle{c} \ aT(n/b)+D(n)+C(n) & otherwise \ end{cases} ]

• 使用分治法的归并排序的递归式
  • 第一个式子就是分解到什么规模可以通过(O(1))时间来解决，第二个式子描述的就是子问题的运行时间加上归并所需要的时间

[T(n)=egin{cases} Theta(1) & n=1 \ underbrace{2T(n/2)}_{对两个子序列排序}+underbrace{Theta(n)}_{合并解} & n>1 \ end{cases} ]

递归式求解

[T(n)=egin{cases} Theta(1) & n=1 \ 2T(n/2)+Theta(n) & n>1 \ end{cases} ]

注意问题：

• 假设自变量为整数
• 忽略边界条件
• 忽略上取整，下取整的影响，先假设总能够被整除，等得到结果后再确定他们是否重要

代换法

• 猜测解的形式
• 用数学归纳法找出使解真正有效的常数
• 仅仅适用于解的形式很容易猜的时候

递归树

• 将递归式转换成树形结构，树中的节点代表在不同递归层次付出的代价，利用对和式限界的技术解出递归式

主方法

• 给出递归形式(T(n)=aT(n/b)+f(n))的界，其中(a≥1，b>1，f(n))是给定的函数