高级图论

1. 同余最短路

说难也不算很难，挺有意思的一个知识点，不过应用不多。

前置知识：SPFA & Dijkstra 求最短路。

1.1. 算法简介

同余最短路常用来求解：给出 (n (nleq 50)) 个数 (a_i (1leq a_ileq 10^5))，求在某个范围（(10^{18})）内有多少个数能够由这些数进行系数非负的线性组合得到。

由题意，对于一个数 (r)，如果它可以被组合而成，那么任何 (r+x_ia_i) 也可以组合而成。但是同时考虑所有变量非常麻烦，时间复杂度也无法接受，所以我们将目光仅放在一个数 (a_1) 上。

同余最短路的核心思想是：如果一个数 (r) 可以得到，那么任何 (r+xa_1) 也可以被得到。因此我们只需要找：对于每个模 (a_1) 同余的同余类，其中最小的能被组合出的数是什么。注意到 (a_1) 本身是较小的，所以对每个同余类求出最小数是可行的。而如果我们得到了模 (a_1) 余 (j) 的数中最小能被表示出来的数，设为 (d_j)，那么可以通过加上 (a_2sim a_n) 转移到其它同余类 (d_k (kequiv j+a_ipmod {a_1}) (2leq ileq n))。

注意到上述算法非常像一个最短路：对于每个点 (j)，它向 ((j+a_i)mod a_1) 连了一条长度为 (a_i) 的边，求每个点的最短路。因此使用 SPFA（不可能是网格图或其它奇奇怪怪的图，不会被卡）或 Dijkstra 即可。初始值 (d_0=0)，(d_i=infty (1leq i<a_1))。

求出 (d_j) 后得到答案是 trivial 的，不妨设我们需要求出 ([1,r]) 有多少个符合要求的数，则答案为：

[sum_{i=0}^{a_1-1}maxleft(0,dfrac{r-d_i}{a_1}+[i eq 0] ight) ]

除法下取整，时间复杂度为 (mathcal{O}(na_1k))。

1.2. 例题

I. P2371 [国家集训队]墨墨的等式

是同余最短路的板子题。设 (m=n imes a_i)。由于图的形态很固定（不是网格图），所以使用 (mathcal{O}(mk)) 的 SPFA 会比 (mathcal{O}(mlog m)) 的 Dijkstra 快不少。

const int N = 5e5 + 5;
ll n, l, r, ans, a[N], d[N];
queue <int> q;

int main(){
	cin >> n >> l >> r;
	for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
	sort(a + 1, a + n + 1);
	mem(d, 0x3f, N), d[0] = 0, q.push(0);
	while(!q.empty()) {
		ll t = q.front(); q.pop();
		for(int i = 2; i <= n; i++) {
			ll to = (t + a[i]) % a[1], v = d[t] + a[i];
			if(d[to] > v) d[to] = v, q.push(to);
		}
	}
	for(int i = 0; i < a[1]; i++) {
		ll h1 = l - d[i] - 1, h2 = r - d[i];
		if(h1 >= 0) ans -= h1 / a[1] + 1;
		if(h2 >= 0) ans += h2 / a[1] + 1;
	} cout << ans << endl;
	return 0;
}