背包入门

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title: 背包入门
categories: [背包, 模板题]
description: 背包入门
keywords: 背包, 模板

背包

01背包

给定(N)个物品和容量是(V)的背包，以及N个物体的(v_i)和(w_i)，每个物体只有一件。
挑选一些物体，使得总体积小于等于V，目标是使得总价值最大，问最大价值是多少？

朴素写法

//#define judge
// Author: oceanlvr
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, V;
const int maxn = 1e3 + 10;
int v[maxn];
int w[maxn];
int f[maxn][maxn];

int main() {
  cin >> n >> V;
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    cin >> v[i] >> w[i];
  }
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = V; j <= 0; j--) {
      f[i][j] = f[i - 1][j];
      if (j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
    }
  }
  cout << f[n][V];
  return 0;
}

滚动数组优化空间

#define judge
// Author: oceanlvr
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, V;
const int maxn = 1e3 + 10;
int v[maxn];
int w[maxn];
int f[maxn];
int main() {
  cin >> n >> V;
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    cin >> v[i] >> w[i];
  }
  /*
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = V; j <= 0; j--) {
      f[i][j] = f[i - 1][j];
      if (j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
    }
  }
  */
  for (int i = 1; i <= n; i++)
    for (int j = V; j >= v[i]; j--) f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
  cout << f[V];
  return 0;
}

完全背包

给定(N)个物品和容量是(V)的背包，以及N个物体的(v_i)和(w_i)。每个物体有无限多件。
挑选一些物体，使得总体积小于等于(V)，目标是使得总价值最大，问最大价值是多少？

朴素写法

暴力做法：

for (int i = 1; i <= n; i++)
    for (int j = V; j >= 0; j--) {
      f[i][j] = f[i - 1][j];
      for (int k = 0; k * v[i] <= j; k++)
        f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i] * k] + w[i] * k);
    }

时间优化

在枚举(k)时做时间优化：
因为在对k进行枚举时有：
(f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-v]+w,f[i-1][j-2v]+2w,...,f[i-1][j-kv]+kw))

( ext{1:}f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-v]+w,f[i-1][j-2v]+2w,...,f[i-1][j-kv]+kw))

( ext{2:}f[i][j-v]=max( f[i-1][j-v],f[i-1][j-2v]+w,f[i-1][j-kv]+(k-1)w))

式子2中每一项都和式子1中从第二项开始的每一项相差1个w,那么就有:
完全背包的方程被优化为：(f[i][j] = max(f[i][j-v]+w,f[i-1][j]))

尤其注意以下细节：

for (int i = 1; i <= n; i++)
    for (int j = 0; j <=V; j++){//正确
    // for(int j=V;j>= v[i];j--){//错误
    //错误的写法，因为f[i][j-v]在f[i][j]前面
    //因此必须等f[i][j-v]更新之后才能更新f[i][j]
      f[i][j]=f[i-1][j];
      if(j>=v[i])  f[i][j]=max(f[i][j-v[i]]+w[i],f[i][j]);
    }

#define judge
// Author: oceanlvr
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, V;
const int maxn = 1e3 + 10;
int w[maxn], v[maxn];
int f[maxn][maxn];
int main() {
  cin >> n >> V;
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    cin >> v[i] >> w[i];
  }
  //------------------------------------------------------------------------------------
  /*时间优化->优化枚举k,因为
    1. f[i][j]      =max(f[i-1][j],f[i-1][j-v]+w,f[i-1][j-2*v]+2*w,...,f[i-1][j-k*v]+k*w);
    2. f[i][j-v]   =max(            f[i-1][j-v],     f[i-1][j-2*v]+*w,...,f[i-1][j-k*v]+(k-1)*w);
    综合1和2 f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-v]+w); 其中v是v_i，w是w_i
  */
  for (int i = 1; i <= n; i++)
    for (int j = 0; j <=V; j++){
    // for(int j=V;j>= v[i];j--){
    //错误的写法，因为f[i][j-v]在f[i][j]前面
    //因此必须等f[i][j-v]更新之后才能更新f[i][j]
      f[i][j]=f[i-1][j];
      if(j>=v[i])  f[i][j]=max(f[i][j-v[i]]+w[i],f[i][j]);
    }
    
      //滚动数组优化

  cout << f[n][V];
  return 0;
}

空间优化

对于上述的方程：(f[i][j] = max(f[i][j-v]+w,f[i-1][j]))
观察方程(f[i][j])可能是由(f[i][j-v[i]])转移过来，并且之前的状态一定是在上一行的前面位置。
因此，可以得知(j-v)一定是在前面的数字情况，因此优化为1维的时候，前面的情况一定是上一个维度的。

优化空间的步骤,将阶段那一维度删除：即将i删除。
随后对
代码如下：

 for (int i = 1; i <= n; i++)
    for (int j = v[i]; j <=V; j++){
      f[j]=max(f[j-v[i]]+w[i],f[j]);
    }

整合：

// Author: oceanlvr
#include <bits/stdc++.h>
int n, V;
const int maxn = 1e3 + 10;
int w[maxn], v[maxn];
// int f[maxn][maxn];
int f[maxn];
int main() {
  cin >> n >> V;
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    cin >> v[i] >> w[i];
  }
  //朴素的完全背包
  /*
  for (int i = 1; i <= n; i++)
    for (int j = V; j >= 0; j--) {
      f[i][j] = f[i - 1][j];
      for (int k = 0; k * v[i] <= j; k++)
        f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i] * k] + w[i] * k);
    }
  */

  //------------------------------------------------------------------------------------
  /*时间优化->优化枚举k,因为
    1. f[i][j]      =max(f[i-1][j],f[i-1][j-v]+w,f[i-1][j-2*v]+2*w,...,f[i-1][j-k*v]+k*w);
    2. f[i][j-v]   =max(            f[i-1][j-v],     f[i-1][j-2*v]+*w,...,f[i-1][j-k*v]+(k-1)*w);
    综合1和2 f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-v]+w); 其中v是v_i，w是w_i
  */
 /*
  for (int i = 1; i <= n; i++)
    for (int j = 0; j <=V; j++){
    // for(int j=V;j>= v[i];j--){
    //错误的写法，因为f[i][j-v]在f[i][j]前面
    //因此必须等f[i][j-v]更新之后才能更新f[i][j]
      f[i][j]=f[i-1][j];
      if(j>=v[i])  f[i][j]=max(f[i][j-v[i]]+w[i],f[i][j]);
    }
  */
  //滚动数组优化
  for (int i = 1; i <= n; i++)
    for (int j = v[i]; j <=V; j++){
      f[j]=max(f[j-v[i]]+w[i],f[j]);
    }


  // cout << f[n][V];
  cout << f[V];
  return 0;
}

多重背包

给定(N)个物品和容量是(V)的背包，以及N个物体的(v_i)和(w_i)。每个物体有(s_i)件。
挑选一些物体，使得总体积小于等于V，目标是使得总价值最大，问最大价值是多少？

朴素写法

暴力做法(O(n^2))

暴力多重背包

#define judge
// Author: oceanlvr
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, V;
const int maxn = 1e2 + 10;
int s[maxn], v[maxn], w[maxn];
int f[maxn][maxn];
int main() {
#ifndef judge
  freopen("E:/yxc/in.txt", "r", stdin);
  freopen("E:/yxc/out.txt", "w", stdout);
#endif
  cin >> n >> V;
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    cin >> v[i] >> w[i] >> s[i];
  }
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = 0; j <= V; j++) {
      f[i][j] = f[i - 1][j];
      for (int k = 0; k <= s[i]; k++) {
        if (j >= k * v[i]) {
          f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]);
        }
      }
    }
  }
  cout << f[n][V] << endl;
  return 0;
}

优化时间

时间优化：
思路1：单调队列优化多重背包背包问题 (附单调队列优化多重背包)

思路2：倍增的思想，把多重背包转为01背包，使用二进制对(s[i])里面的数字范围打包：

用倍增的思想对同一物体进行打包之后物体的数目从(S)变为了(lgS)。因此时间复杂度由原来的(O(NSV))变为(O(NV ext{lg}V))。
建议看下『算法竞赛进阶指南』这本书上讲解倍增思想的部分。

//#define judge
// Author: oceanlvr
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, V;
const int maxn = 2e4 + 5e3 + 10;
const int maxm = 2e3 + 10;
int v[maxn], w[maxn];
int f[maxn];
int main() {
  cin >> n >> V;
  int cnt = 0;  //打包后的物体的编号
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    int a, b, s;
    cin >> a >> b >> s;
    int k = 1;
    /*倍增的思想多多重背包打包，转为01背包*/
    while (k <= s) {
      cnt++;
      //将这k个物体打包成一个物体，编号为cnt
      v[cnt] = a * k;
      w[cnt] = b * k;
      s -= k;
      k <<= 1;  //倍增
    }
    if (s) {
      //此时还剩下没有够2^{k+1}个的单位
      //单独补上为一个物体
      cnt++;
      v[cnt] = a * s;
      w[cnt] = b * s;
    }
  }

  n = cnt;  //更新为01背包的大小
  //打包之后的多重背包转化为01背包
  //此时直接做01背包相同的操作即可
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = V; j >= v[i]; j--) {
      f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
    }
  }
  cout << f[V] << endl;

  return 0;
}

分组背包问题

将物品分为(N)组，每个组有若干个物体，给定若干物体的价值(w_i)。每组只能选一个物体（组内是互斥的）。
问有背包的价值最大是多少？

分组背包问题

朴素写法

// Author: oceanlvr
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, V;
const int maxn = 1e2 + 10;
//第i组的第j个物品的体积和价值
int v[maxn][maxn];
int w[maxn][maxn];
int f[maxn][maxn];
int main() {
  cin >> n >> V;
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    int nn;
    cin >> nn;
    v[i][0] = nn;  //记录数量
    for (int j = 1; j <= nn; j++) {
      cin >> v[i][j] >> w[i][j];
    }
  }
  //朴素写法
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = 0; j <= V; j++) {
      for (int k = 0; k <= v[i][0]; k++) {
        f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j]);
        if (j - v[i][k] >= 0)
          f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i][k]] + w[i][k]);
      }
    }
  }
  cout << f[n][V] << endl;

空间优化

滚动数组空间优化：
对于分组背包的空间优化意义不太大，因为本身存储(v)和(w)就已经是二维的空间花销了。

// Author: oceanlvr
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, V;
const int maxn = 1e2 + 10;
//第i组的第j个物品的体积和价值
int v[maxn][maxn];
int w[maxn][maxn];
int f[maxn];
int main() {
  cin >> n >> V;
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    int nn;
    cin >> nn;
    v[i][0] = nn;  //记录数量
    for (int j = 1; j <= nn; j++) {
      cin >> v[i][j] >> w[i][j];
    }
  }
  //空间优化
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = V; j >= 0; j--) {
      for (int k = 0; k <= v[i][0]; k++) {
        if (j - v[i][k] >= 0)
          f[j] = max(f[j], f[j - v[i][k]] + w[i][k]);
      }
    }
  }
  cout << f[V] << endl;

综合

// Author: oceanlvr
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, V;
const int maxn = 1e2 + 10;
//第i组的第j个物品的体积和价值
int v[maxn][maxn];
int w[maxn][maxn];
// int f[maxn][maxn];
int f[maxn];
int main() {
  cin >> n >> V;

  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    int nn;
    cin >> nn;
    v[i][0] = nn;  //记录数量
    for (int j = 1; j <= nn; j++) {
      cin >> v[i][j] >> w[i][j];
    }
  }
  /*朴素写法
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = 0; j <= V; j++) {
      for (int k = 0; k <= v[i][0]; k++) {
        f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j]);
        if (j - v[i][k] >= 0)
          f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i][k]] + w[i][k]);
      }
    }
  }
  */
  //空间优化
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = V; j >= 0; j--) {
      for (int k = 0; k <= v[i][0]; k++) {
        if (j - v[i][k] >= 0)
          f[j] = max(f[j], f[j - v[i][k]] + w[i][k]);
      }
    }
  }
  cout << f[V] << endl;
  return 0;
}

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