Bzoj1096 [ZJOI2007]仓库建设

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Description

　　L公司有N个工厂，由高到底分布在一座山上。如图所示，工厂1在山顶，工厂N在山脚。由于这座山处于高原内
陆地区（干燥少雨），L公司一般把产品直接堆放在露天，以节省费用。突然有一天，L公司的总裁L先生接到气象
部门的电话，被告知三天之后将有一场暴雨，于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。由于
地形的不同，在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂目前已有成品Pi件，在第i个工厂位置建立仓库
的费用是Ci。对于没有建立仓库的工厂，其产品应被运往其他的仓库进行储藏，而由于L公司产品的对外销售处设
置在山脚的工厂N，故产品只能往山下运（即只能运往编号更大的工厂的仓库），当然运送产品也是需要费用的，
假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。假设建立的仓库容量都都是足够大的，可以容下所有的产品。你将得到
以下数据：1：工厂i距离工厂1的距离Xi（其中X1=0）;2：工厂i目前已有成品数量Pi;:3：在工厂i建立仓库的费用
Ci;请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案，使得总的费用（建造费用+运输费用）最小。

Input

　　第一行包含一个整数N，表示工厂的个数。接下来N行每行包含两个整数Xi, Pi, Ci, 意义如题中所述。

Output

　　仅包含一个整数，为可以找到最优方案的费用。

Sample Input

3
0 5 10
5 3 100
9 6 10

Sample Output

HINT

在工厂1和工厂3建立仓库，建立费用为10+10=20，运输费用为(9-5)*3 = 12，总费用32。如果仅在工厂3建立仓库，建立费用为10，运输费用为(9-0)*5+(9-5)*3=57，总费用67，不如前者优。

【数据规模】

对于100%的数据， N ≤1000000。所有的Xi, Pi, Ci均在32位带符号整数以内，保证中间计算结果不超过64位带符号整数。

斜率优化DP

如果知道将j+1到i范围的所有产品都运输到i的花费cost(j+1,i),那么f[i]=min{f[j]+cost(j+1,i)}

cost如何计算？

sum[i]为p[i]的前缀和

如果所有物品都从0开始运到i，则费用为（sum[i]-sum[j]）*x[i]

但由于物品的起始点不在0，所以每个物品可以少花费x[i]*p[i]

b[i]为x[i]*p[i]的前缀和

——引自hzwer神犇的博客

假设有两个断点k,j，(k<j)，j比k更优，得到：

　　(f[j]+w[j]-f[k]-w[k])/(s[j]-s[k]) < x[i]

　　这里w相当于上文b

(第一遍算的时候符号弄错了，纠结了半天，尴尬)

维护一个……下凸包？

上下傻傻分不清楚，看上去求最小值就是斜率尽量小，求最大值就是斜率尽量大

斜率尽量小，维护的单调队列里斜率就单调递增……

 1 /*by SilverN*/
 2 #include<iostream>
 3 #include<algorithm>
 4 #include<cstring>
 5 #include<cstdio>
 6 #include<cmath>
 7 #define LL long long
 8 using namespace std;
 9 const int mxn=1000010;
10 int read(){
11     int x=0,f=1;char ch=getchar();
12     while(ch<'0' || ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
13     while(ch>='0' && ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
14     return x*f;
15 }
16 int n;
17 LL x[mxn],p[mxn],c[mxn];
18 LL smm[mxn];
19 LL f[mxn],w[mxn];
20 double gt(int b,int a){
21     return (double)(f[a]+w[a]-f[b]-w[b])/(smm[a]-smm[b]);
22 }
23 int q[mxn],hd,tl;
24 int main(){
25     n=read();
26     int i,j;
27     for(i=1;i<=n;i++){
28         x[i]=read();p[i]=read();c[i]=read();
29         smm[i]=smm[i-1]+p[i];
30         w[i]=w[i-1]+p[i]*x[i];
31     }
32     hd=tl=0;
33     for(i=1;i<=n;i++){
34         while(hd<tl && gt(q[hd],q[hd+1])<x[i])hd++;
35         j=q[hd];
36         f[i]=f[j]+x[i]*(smm[i]-smm[j])-w[i]+w[j]+c[i];
37         while(hd<tl && gt(q[tl-1],q[tl])>gt(q[tl],i))tl--;
38         q[++tl]=i;
39     }
40     printf("%lld
",f[n]);
41     return 0;
42 }