lucas定理

Lucas定理：

A,B是非负数,p是质数,

A可以写成p进制a[n]....a[0],B可以写成p进制b[n]......b[0]

则组合数C(a,b) = C(a[n],b[n])*.....*C(a[0],b[0])

我们借此实现组合数取模，Lucas(a,b,p) = C(a%p,b%p)*Lucas(a/p,b/p,p);

对于C(a,b) = a!/(b!*(a-b)!),

对此我们可以利用费马小定理,a^(p-1) = 1(mod p) ->a*a^(p-2) = 1

所以1/(b!*(a-b)!) = (b!*(a-b)!)^(p-2)

参考：

Julyana_Lin

hdu 3037

求C(n+m,m)%p，模板题

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef long double ld;
const ld eps=1e-10;
const int inf = 0x3f3f3f;
const int maxn = 100005;
ll fac[maxn];

ll pow_mod(ll a,ll b,ll mod)
{
    ll ret = 1;
    while(b)
    {
        if(b & 1) ret = (ret*a)%mod;
        a = (a*a)%mod;
        b >>= 1;
    }
    return ret;
}

ll Fac(ll p)
{
    fac[0] = 1;
    for(int i = 1;i <= p;i++)
    {
        fac[i] = (fac[i-1] * i)%p;
    }
}

ll lucas(ll n,ll m,ll p)
{
    ll ret = 1;
    while(n && m)
    {
        ll a = n % p;
        ll b = m % p;
        if(a < b)
            return 0;
        ret = (ret*fac[a]*pow_mod(fac[b]*fac[a-b]%p,p-2,p))%p;      
        n /= p;
        m /= p;
    }
    return ret%p;
}


int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        ll a,b,p;
        scanf("%I64d%I64d%I64d",&a,&b,&p);
        Fac(p);
        ll ans = lucas(a+b,b,p);
        printf("%I64d
",ans);
    }
}

　　

hdu 4349

lucas定理的拓展

直接用lucas超时- -

对于每个C(n,0)....C(n,n),利用lucas定理把它们看成二进制数,于是根据分解公式我们可以看成C(a[n],b[n])*.....*C(a[0],b[0])，

可以发现C(1,1) = C(1,0) = C(0,0) = 1; C(0,1) = 0;所以当a中为0的位置b也为0时我们才可能得到1，

于是成了统计a中1的个数num。然后2^num得出b可能有多少种即可

例：

C(21,20)  10100  10101

C(1,1)*C(0,0)*C(1,1)*C(0,0)*C(1,0) = 1.

C(21,18)

10010  10101

C(1,1)*C(0,0)*C(1,0)*C(0,1)*C(1,0) = 0.

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef long double ld;
const ld eps=1e-10;
const int inf = 0x3f3f3f;
const int maxn = 100005;


int main()
{
     ll x;
     while(scanf("%I64d",&x) != EOF)
     {
         ll num = 0;
         while(x)
         {
             if(x & 1)
                num++;
             x >>= 1;
         }
         printf("%I64d
",(ll)1<<num);
     }
     return 0;
}