[loj3156]回家路线

令$dp[i]$表示经过第$i$条边后的最小烦躁值，有$且dp[i]=min_{y_{j}=x_{i}且q_{j}le p_{i}}dp[j]+f(p_{i}-q_{j})$，其中$f(x)=Ax^{2}+Bx+C$

由于$p_{j}<q_{j}le p_{i}$，按$p_{i}$从小到大枚举，当$q_{j}le p_{i}$时将信息记在$y_{j}$上，求$dp[i]$时枚举$x_{i}$上的信息即可，复杂度$o(m^{2})$

将后面的式子拆开，提出与$j$无关的部分，即$且dp[i]=f(p_{i})+min_{y_{j}=x_{i}且q_{j}le p_{i}}-2Ap_{i}q_{j}+(dp[j]+Aq_{j}^2-Bq_{j})$

将后半部分看作$F_{j}(x)=-2Aq_{j}x+(dp[j]+Aq_{j}^2-Bq_{j})$的直线，对每一个点用凸包来维护这些直线，利用斜率$q_{j}$和询问$p_{i}$的单调性可以做到均摊$o(1)$

复杂度计算：每一条直线插入/询问一次，插入/删除均摊均为$o(1)$，总复杂度$o(m)$；对$p_{j}le p_{i}<q_{j}$的直线维护一个$set$，复杂度为$o(mlog m)$（对$q$排序可以做到$o(m)$，但排序复杂度也为$o(mlog m)$）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 200005
#define k(i) -2*A*e[i].q
#define b(i) (dp[i]+A*e[i].q*e[i].q-B*e[i].q) 
struct ji{
    int x,y,p,q;
}e[N];
vector<int>v[N];
set<pair<int,int> >s;
int n,m,A,B,C,ans,sz[N],dp[N];
bool cmp(ji x,ji y){
    return x.p<y.p;
}
double point(int x,int y){
    if (k(x)==k(y)){
        if (b(x)==b(y))return 0;
        if (b(x)<b(y))return 0x3f3f3f3f;
        return -0x3f3f3f3f;
    }
    return 1.0*(b(y)-b(x))/(k(x)-k(y));
}
void add(int x){
    int k=e[x].y;
    while ((sz[k]>1)&&(point(v[k][sz[k]-2],v[k][sz[k]-1])>point(v[k][sz[k]-1],x))){
        v[k].erase(--v[k].end());
        sz[k]--;
    }
    v[k].push_back(x);
    sz[k]++;
}
int query(int x){
    int k=e[x].x;
    if (!sz[k])return 0x3f3f3f3f;
    while ((sz[k]>1)&&(point(v[k][0],v[k][1])<e[x].p)){
        v[k].erase(v[k].begin());
        sz[k]--;
    }
    return k(v[k][0])*e[x].p+b(v[k][0]);
}
int main(){
    freopen("route.in","r",stdin);
    freopen("route.out","w",stdout);
    scanf("%d%d%d%d%d",&n,&m,&A,&B,&C);
    for(int i=1;i<=m;i++)scanf("%d%d%d%d",&e[i].x,&e[i].y,&e[i].p,&e[i].q);
    sort(e+1,e+m+1,cmp);
    e[0].y=1;
    s.insert(make_pair(0,0));
    for(int i=1;i<=m;i++){
        while ((s.size())&&((*s.begin()).first<=e[i].p)){
            add((*s.begin()).second);
            s.erase(s.begin());
        }
        dp[i]=query(i)+A*e[i].p*e[i].p+B*e[i].p+C;
        s.insert(make_pair(e[i].q,i));
    }
    ans=0x3f3f3f3f;
    for(int i=1;i<=m;i++)
        if (e[i].y==n)ans=min(ans,dp[i]+e[i].q);
    printf("%d",ans);
    return 0;
}