1 一致收敛很重要, 但可惜的是很多时候不一致收敛. 比如 $$ex f_n(x)=x^n o f(x)=sedd{a{ll} 0,&xin [0,1)\ 1,&x=1 ea},quad xin [0,1]; eex$$ 但 $f_n$ 在 $[0,1-delta]$ 上一致收敛!
本节的内容就是把这种现象普适化.
2 (Egrov 定理) 设
(1) $mE<infty$;
(2) $ae$ 有限的可测函数列 $sed{f_n}$ $ae$ 收敛于 $ae$ 有限的函数 $f$. 则 $$ex forall delta>0, exists E_deltasubset E, mE_delta<delta,st f_n ightrightarrows fmbox{ 于 }Es E_deltambox{ 上}. eex$$
证明: 作 $$ex E_0=cup_{n=0}^infty E[|f_n|=+infty]cup E[|f|=+infty], eex$$
则 $mE_0=0$. 用 $Es E_0$ 替换 $E$, 不妨设 $$ex f_n,fmbox{ 是有限函数};quad f_n o f,ae mbox{ 于 }E. eex$$
于是 $$eex ea &quad 0=msez{lim_{n oinfty}|f_n-f| eq 0mbox{ 或极限不存在}}\ &quad \,=msex{cup_{k=1}^infty cap_{N=1}^infty cup_{n=N}^infty Esez{|f_n-f|geq frac{1}{k}}}\ & a forall kinbZ^+, msex{cap_{N=1}^infty cup_{n=N}^infty Esez{|f_n-f|geq frac{1}{k}}}=0\ & a forall kinbZ^+, lim_{N oinfty} msex{cup_{n=N}^infty Esez{|f_n-f|geqfrac{1}{k}}}=0\ & a forall kinbZ^+, forall delta>0, exists N_kinbZ^+, msex{cup_{n=N_k}^infty Esez{|f_n-f|geq frac{1}{k}}}<frac{delta}{2^k}\ & a forall delta>0, msex{cup_{k=1}^infty cup_{n=N_k}^infty Esez{|f_n-f|geqfrac{1}{k}}}<sum_{k=1}^infty frac{delta}{2^k}=delta\ & a E_delta=cap_{k=1}^infty cap_{n=N_k}^infty Esez{|f_n-f|<frac{1}{k}}mbox{ 为所求}. eea eeex$$
3 Egrov 定义的意义: $$ex aembox{ 收敛} a mbox{``基本上'' 一致收敛}. eex$$
4 注记:
(1) $mE=+infty$ 时, Egrov 定理不成立. 比如 $$ex f_n(x)=chi_{[n,n+1]}(x),quad xin E=bR. eex$$
(2) Egrov 定理的逆定理在 $mEleq+infty$ 时成立. 这是作业.
5 Egrov 定理的推广: 设
(1) $mE<+infty$;
(2) $ae$ 有限的可测函数列 $sed{f_n}$ $ae$ 收敛于 $+infty$. 则 $$ex forall delta>0, exists E_deltasubset E, mE_delta<delta,st f_n ightrightarrows +infty,mbox{ 于 }Es E_deltambox{ 上}. eex$$
这是课堂练习.
6 作业: Page 94 T 7.