2. 解析函数及其简单性质
(1) 定义:
a. 若 $w=f(z)$ 在区域 $D$ 内可微, 则称 $f$ 在 $D$ 内解析;
b. 若 $w=f(z)$ 在 $z_0$ 处的某邻域内解析, 则称 $f$ 在 $z_0$ 处解析;
c. 若 $f$ 在闭域 $ar D$ 的某个邻域内解析, 则称 $f$ 在 $ar D$ 上解析;
d. 若 $f$ 在 $z_0$ 处不解析 ($forall ho>0, exists zin U_ ho(z_0),st f$ 在 $z$ 处不解析), 但在任一邻域内都有 $f$ 的解析点, 则称 $z_0$ 为 $f$ 的奇点. 例如: $f(z)=cfrac{1}{z}$.
(2) 注记:
a. 以后所指的解析函数容许奇点.
b. 与实函数的区别: 实可微 (点 $ ra$ 区间); 复解析 (区域 $ ra$ 点).
c. 与实函数的联系: 四则运算、链式法则 ($(gcirc f)'=g'circ f'$).
3. Cauchy-Riemann 方程
(1) 引言: $$eex ea &quad w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y),quad z=x+iy & a f'(z)=?,quad lap z=lap x+ilap y. eea eeex$$ 解答: $$eex ea f'(z)&=lim_{lap z o 0}frac{f(z+lap z)-f(z)}{lap z}\ &=lim_{(lap x,lap y) o 0} frac{ [u(x+lap x,y+lap y)-u(x,y)]+i[v(x+lap x,y+lap y)-v(x,y)] }{ lap x+ilap y }. eea eeex$$ 当 $lap y=0$ 时, $$eex ea f'(z)&=lim_{lap x o 0}frac{[u(x+lap x,y)-u(x,y)]+i[v(x+lap x,y)-v(x,y)]}{lap x}\ &=u_x+iv_x; eea eeex$$ 当 $lap x=0$ 时, $$eex ea f'(z)&=lim_{lap y o 0}frac{ [u(x,y+lap y)-u(x,y)]+i[v(x,y+lap y)-v(x,y)] }{ilap y}\ &=frac{1}{i}(u_y+iv_y)\ &=v_y-iu_y. eea eeex$$ 于是, $$ex u_x+iv_x=f'(z)=v_y-iu_y a u_x=v_y, u_y=-v_x. eex$$
(2) 称 $u_x=v_y, u_y=-v_x$ 为 Cauchy-Riemann (C-R) 方程.
(3) 可微的必要条件: $$ex f=u+ivmbox{ 在 }z_0mbox{ 处可微} a sedd{a{ll} u_x,u_y,v_x,v_ymbox{ 在 }(x_0,y_0)mbox{ 处存在}\ C-Rmbox{ 方程} ea}. eex$$
(4) 可微的充要条件: $$ex f=u+ivmbox{ 在 }z_0mbox{ 处可微}lra sedd{a{ll} u,vmbox{ 在 }(x_0,y_0)mbox{ 可微}\ C-Rmbox{ 方程} ea}. eex$$
(5) 可微的充分条件: $$ex f=u+ivmbox{ 在 }z_0mbox{ 处可微}Leftarrow sedd{a{ll} u_x,u_y,v_x,v_ymbox{ 在 }(x_0,y_0)mbox{ 存在且连续}\ C-Rmbox{ 方程} ea}. eex$$
(6) 解析的必要条件: $$ex fmbox{ 在区域 }Dmbox{ 内解析} a sedd{a{ll} u_x,u_y,v_x,v_ymbox{ 在区域 }Dmbox{ 内存在}\ C-Rmbox{ 方程} ea}. eex$$
(7) 解析的充要条件: $$ex fmbox{ 在区域 }Dmbox{ 内解析}lra sedd{a{ll} u,vmbox{ 在区域 }Dmbox{ 可微}\ C-Rmbox{ 方程}ea} eex$$
(8) 解析的充分条件: $$ex fmbox{ 在区域 }Dmbox{ 内解析}Leftarrow sedd{a{ll} u_x,u_y,v_x,v_ymbox{ 在区域 }Dmbox{ 内存在且连续}\ C-Rmbox{ 方程} ea} eex$$
(9) 例子:
a. $f(z)=|z|^2$ 解析不?
b. $f(z)=x^2-iy^2$ 解析不?
c. $f(z)=e^x(cos y+isin y)$ 解析不? 如果解析, 求出 $f'(z)$.
d. 设 $f=u+iv$ 解析, 试证: 曲线 $u(x,y)=c_1, v(x,y)=c_2$ 正交.
作业: P 90 T 5 (3) , T 8 (1) .