1. 平面点集的几个基本概念
(1) 邻域 $$ex N_ ho(z_0)=sed{zinbC; |z-z_0|< ho}, eex$$ 去心邻域 $N_ ho(z_0)s sed{z_0}$.
(2) 点列 $z_n o z_0$, 若 $$ex forall ve>0, exists N, forall ngeq N, |z_n-z_0|<vembox{ 即 }z_nin N_ve(z_0). eex$$
(3) 点 $z_0$ 与集 $E$ 的关系 $z_0$ 是 $E$ 的内点, 记作 $z_0in E^o$, 如果 $$ex exists ho>0,st N_ ho(z_0)subset E, eex$$ $z_0$ 是 $E$ 的外点, 如果 $$ex exists ho>0,st N_ ho(z_0)subset E^c, eex$$ $z_0$ 是 $E$ 的界点, 记作 $z_0in p E$, 如果 $$ex forall ho>0, N_ ho(z_0)cap E eq 0, N_ ho(z_0)cap E^c eq vno; eex$$ $z_0$ 是 $E$ 的聚点, 记作 $z_0in E'$, 如果 $$ex forall ho>0, sex{N_ ho(z_0)s sed{z_0}}cap E eq vno, eex$$ $z_0$ 是 $E$ 的孤立点, 如果 $$ex exists ho>0, N_ ho(z_0)cap E=sed{z_0}. eex$$
(4) 开集、闭集; 有界集、无界集 $E$ 是开集, 如果 $E^o=E$; $E$ 是闭集, 如果 $E'subset E$. $E$ 是有界集, 如果 $$ex exists M>0,st Esubset sed{zinbC; |z|leq M}, eex$$ 且称 $$ex mathrm{diam}(E)=sup_{z_1,z_2in E}|z_1-z_2| eex$$ 为 $E$ 的直径; $E$ 是无界集, 如果 $E$ 不是有界集, 即 $$ex forall n, exists z_nin E,st |z_n|geq n. eex$$
2. 区域与 Jordan 曲线
(1) 区域 $D$: $D$ 称为区域, 如果 $D$ 是连通开集.
(2) 闭域 $ar D=D+p D$.
(3) 例子
a. $sed{zinbC; |z|<R}$, $sed{zinbC; |z|leq R}$;
b. $sed{zinbC; Re z<0}$, $sed{zinbC; Re z>0}$, $sed{zinbC; Im z>0}$, $sed{zinbC; Im z<0}$;
c. $sed{zinbC; Im z>0, |z|>1}$;
d. $sed{zinbC; y_1leq Im zleq y_2}$;
e. $sed{zinbC; r<|z|<R}$;
f. $sed{zinbC; Re zcdot Im z>0}$.
(4) 曲线 $C$
a. $z(t)=x(t)+iy(t)$, $(alleq tleqeta)$, 其中 $x(t),y(t)$ 连续.
b. 若 $z(t_1)=z(t_2)$, $t_1 eq t_2$, 则称 $z(t_1)$ 为重点.
c. 无重点的连续曲线称为简单曲线, 或 Jordan 曲线; 若在 $z(al)=z(eta)$, 则称为简单闭曲线.
d. 若 $x(t),y(t)$ 连续可微, 且 $x'^2(t)+y'^2(t) eq 0$, 则称为光滑曲线; 有限多条光滑曲线衔接而成为 ``逐段光滑曲线''.
e. 曲线的长度 $$eex ea ell(C)&=sup sum_{k=1}^n|z(t_k)-z(t_{k-1})|\ &=int_al^eta |z'(t)| d tquad (Cmbox{ 逐段光滑}). eea eeex$$
f. Jordan 定理.
g. 曲线的方向.
h. 单连通区域、多连通区域.
作业: 第一章习题 T 6 (4) (8) .